Pré-calcul Exemples

$\frac{2 \log_{2} (3) - 1}{2 \log_{2} (3)}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Simplifiez $2 \log_{2} (3)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{\log_{2} (3^{2}) - 1}{2 \log_{2} (3)}$

Étape 1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\log_{2} (9) - 1}{2 \log_{2} (3)}$

Étape 2

Simplifiez $2 \log_{2} (3)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{\log_{2} (9) - 1}{\log_{2} (3^{2})}$

Étape 3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{\log_{2} (9) - 1}{\log_{2} (9)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $\log_{2} (9)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 4.1.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\frac{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1}{\log_{2} (9)}$

Étape 4.1.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (9)}{\log (2)} - 1}{\log_{2} (9)}$

Étape 4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\log (2)}{\log (2)}$ .

$\frac{\frac{\log (9)}{\log (2)} - 1 \cdot \frac{\log (2)}{\log (2)}}{\log_{2} (9)}$

Étape 4.3

Associez $- 1$ et $\frac{\log (2)}{\log (2)}$ .

$\frac{\frac{\log (9)}{\log (2)} + \frac{- \log (2)}{\log (2)}}{\log_{2} (9)}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\log (9) - \log (2)}{\log (2)}}{\log_{2} (9)}$

Étape 4.5

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\frac{\log (\frac{9}{2})}{\log (2)}}{\log_{2} (9)}$

Étape 5

Réécrivez $\log_{2} (9)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 5.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\frac{\frac{\log (\frac{9}{2})}{\log (2)}}{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (\frac{9}{2})}{\log (2)}}{\frac{\log (9)}{\log (2)}}$

Étape 6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\log (\frac{9}{2})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (9)}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $\log (2)$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\log (\frac{9}{2})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (9)}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\log (\frac{9}{2}) \frac{1}{\log (9)}$

Étape 8

Associez $\log (\frac{9}{2})$ et $\frac{1}{\log (9)}$ .

$\frac{\log (\frac{9}{2})}{\log (9)}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\log (\frac{9}{2})}{\log (9)}$

Forme décimale :

$0.68453512 \dots$