Pré-calcul Exemples

$(\ln (\frac{x}{e^{4}})) \ln (x e^{4})$

Étape 1

Réécrivez $\frac{x}{e^{4}}$ comme $x {(e^{4})}^{- 1}$ .

$\ln (x {(e^{4})}^{- 1}) \ln (x e^{4})$

Étape 2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x e^{4 \cdot - 1}) \ln (x e^{4})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (x e^{4 \cdot - 1})$ comme $\ln (x) + \ln (e^{4 \cdot - 1})$ .

$(\ln (x) + \ln (e^{4 \cdot - 1})) \ln (x e^{4})$

Étape 4

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $4 \cdot - 1$ de l’exposant.

$(\ln (x) + 4 \cdot - 1 \ln (e)) \ln (x e^{4})$

Étape 5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$(\ln (x) - 4 \ln (e)) \ln (x e^{4})$

Étape 6

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(\ln (x) - 4 \cdot 1) \ln (x e^{4})$

Étape 7

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$(\ln (x) - 4) \ln (x e^{4})$

Étape 8

Réécrivez $\ln (x e^{4})$ comme $\ln (x) + \ln (e^{4})$ .

$(\ln (x) - 4) (\ln (x) + \ln (e^{4}))$

Étape 9

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $4$ de l’exposant.

$(\ln (x) - 4) (\ln (x) + 4 \ln (e))$

Étape 10

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(\ln (x) - 4) (\ln (x) + 4 \cdot 1)$

Étape 11

Multipliez $4$ par $1$ .

$(\ln (x) - 4) (\ln (x) + 4)$

Étape 12

Développez $(\ln (x) - 4) (\ln (x) + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x) (\ln (x) + 4) - 4 (\ln (x) + 4)$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x) \ln (x) + \ln (x) \cdot 4 - 4 (\ln (x) + 4)$

Étape 12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x) \ln (x) + \ln (x) \cdot 4 - 4 \ln (x) - 4 \cdot 4$

Étape 13

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Multipliez $\ln (x) \ln (x)$ .

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Étape 13.1.1.1

Élevez $\ln (x)$ à la puissance $1$ .

$\ln^{1} (x) \ln (x) + \ln (x) \cdot 4 - 4 \ln (x) - 4 \cdot 4$

Étape 13.1.1.2

Élevez $\ln (x)$ à la puissance $1$ .

$\ln^{1} (x) \ln^{1} (x) + \ln (x) \cdot 4 - 4 \ln (x) - 4 \cdot 4$

Étape 13.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\ln (x)}^{1 + 1} + \ln (x) \cdot 4 - 4 \ln (x) - 4 \cdot 4$

Étape 13.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\ln^{2} (x) + \ln (x) \cdot 4 - 4 \ln (x) - 4 \cdot 4$

Étape 13.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $\ln (x)$ .

$\ln^{2} (x) + 4 \cdot \ln (x) - 4 \ln (x) - 4 \cdot 4$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$\ln^{2} (x) + 4 \ln (x) - 4 \ln (x) - 16$

Étape 13.2

Soustrayez $4 \ln (x)$ de $4 \ln (x)$ .

$\ln^{2} (x) + 0 - 16$

Étape 13.3

Additionnez $\ln^{2} (x)$ et $0$ .

$\ln^{2} (x) - 16$