Pré-calcul Exemples

$(\log_{4} (12^{3})) (\log_{12} (4^{3}))$

Étape 1

Élevez $12$ à la puissance $3$ .

$\log_{4} (1728) \log_{12} (4^{3})$

Étape 2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\log_{4} (1728) \log_{12} (64)$

Étape 3

Réécrivez $\log_{4} (1728)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 3.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{12} (64)$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\log (1728)}{\log (4)} \log_{12} (64)$

Étape 4

Réécrivez $\log_{12} (64)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 4.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\frac{\log (1728)}{\log (4)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\log (1728)}{\log (4)} \cdot \frac{\log (64)}{\log (12)}$

Étape 5

Multipliez $\frac{\log (1728)}{\log (4)}$ par $\frac{\log (64)}{\log (12)}$ .

$\frac{\log (1728) \log (64)}{\log (4) \log (12)}$

Étape 6

Réécrivez $\log (1728)$ comme $\log (2^{6} \cdot 3^{3})$ .

$\frac{\log (2^{6} \cdot 3^{3}) \log (64)}{\log (4) \log (12)}$

Étape 7

Réécrivez $\log (2^{6} \cdot 3^{3})$ comme $\log (2^{6}) + \log (3^{3})$ .

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) \log (64)}{\log (4) \log (12)}$

Étape 8

Réécrivez $\log (64)$ comme $\log (2^{6})$ .

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) \log (2^{6})}{\log (4) \log (12)}$

Étape 9

Développez $\log (2^{6})$ en déplaçant $6$ hors du logarithme.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{\log (4) \log (12)}$

Étape 10

Réécrivez $\log (4)$ comme $\log (2^{2})$ .

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{\log (2^{2}) \log (12)}$

Étape 11

Développez $\log (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{2 \log (2) \log (12)}$

Étape 12

Réécrivez $\log (12)$ comme $\log (2^{2} \cdot 3)$ .

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{2 \log (2) \log (2^{2} \cdot 3)}$

Étape 13

Réécrivez $\log (2^{2} \cdot 3)$ comme $\log (2^{2}) + \log (3)$ .

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{2 \log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))}$

Étape 14

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 14.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 14.1.1

Factorisez $2$ à partir de $(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))$ .

$\frac{2 ((\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2)))}{2 \log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))}$

Étape 14.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))$ .

$\frac{2 ((\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2)))}{2 (\log (2) (\log (2^{2}) + \log (3)))}$

Étape 14.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 ((\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2)))}{2 (\log (2) (\log (2^{2}) + \log (3)))}$

Étape 14.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2))}{\log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))}$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun de $\log (2)$ .

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Étape 14.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2))}{\log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))}$

Étape 14.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) \cdot (3)}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Étape 15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.1

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$\frac{(\log (64) + \log (3^{3})) \cdot 3}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Étape 15.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{(\log (64) + \log (27)) \cdot 3}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Étape 15.3

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (64 \cdot 27) \cdot 3}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Étape 15.4

Multipliez $64$ par $27$ .

$\frac{\log (1728) \cdot 3}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Étape 16

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\log (1728) \cdot 3}{\log (4) + \log (3)}$

Étape 16.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (1728) \cdot 3}{\log (4 \cdot 3)}$

Étape 16.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{\log (1728) \cdot 3}{\log (12)}$

Étape 17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.1

Remettez dans l’ordre $\log (1728)$ et $3$ .

$\frac{3 \cdot \log (1728)}{\log (12)}$

Étape 17.2

Simplifiez $3 \cdot \log (1728)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{\log (1728^{3})}{\log (12)}$

Étape 18

Élevez $1728$ à la puissance $3$ .

$\frac{\log (5159780352)}{\log (12)}$

Étape 19

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\log (5159780352)}{\log (12)}$

Forme décimale :

$9$