Pré-calcul Exemples

$(\log_{2} (3) + \log_{4} (9)) (\log_{3} (2) + \log_{9} (4))$

Étape 1

Développez $(\log_{2} (3) + \log_{4} (9)) (\log_{3} (2) + \log_{9} (4))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{2} (3) (\log_{3} (2) + \log_{9} (4)) + \log_{4} (9) (\log_{3} (2) + \log_{9} (4))$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{2} (3) \log_{3} (2) + \log_{2} (3) \log_{9} (4) + \log_{4} (9) (\log_{3} (2) + \log_{9} (4))$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{2} (3) \log_{3} (2) + \log_{2} (3) \log_{9} (4) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez $\log_{2} (3)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 2.1.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{3} (2) + \log_{2} (3) \log_{9} (4) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.1.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\log (3)}{\log (2)} \log_{3} (2) + \log_{2} (3) \log_{9} (4) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.2

Réécrivez $\log_{3} (2)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 2.2.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\frac{\log (3)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} + \log_{2} (3) \log_{9} (4) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.2.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (3)} + \log_{2} (3) \log_{9} (4) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $\log (3)$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (3)} + \log_{2} (3) \log_{9} (4) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\log (2)} \log (2) + \log_{2} (3) \log_{9} (4) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun de $\log (2)$ .

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Étape 2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\log (2)} \log (2) + \log_{2} (3) \log_{9} (4) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \log_{2} (3) \log_{9} (4) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.5

Réécrivez $\log_{2} (3)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 2.5.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$1 + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{9} (4) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.5.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \log_{9} (4) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.6

Réécrivez $\log_{9} (4)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 2.6.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.6.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (4)}{\log (9)} + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.7

Réécrivez $\log (4)$ comme $\log (2^{2})$ .

$1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2^{2})}{\log (9)} + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.8

Développez $\log (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{2 \log (2)}{\log (9)} + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.9

Réécrivez $\log (9)$ comme $\log (3^{2})$ .

$1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{2 \log (2)}{\log (3^{2})} + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.10

Développez $\log (3^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{2 \log (2)}{2 \log (3)} + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.11.1

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{2 \log (2)}{2 \log (3)} + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.11.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (3)} + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.12

Annulez le facteur commun de $\log (3)$ .

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Étape 2.12.1

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (3)} + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.12.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{1}{\log (2)} \log (2) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.13

Annulez le facteur commun de $\log (2)$ .

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Étape 2.13.1

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{1}{\log (2)} \log (2) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.13.2

Réécrivez l’expression.

$1 + 1 + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.14

Réécrivez $\log_{4} (9)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 2.14.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$1 + 1 + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.14.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$1 + 1 + \frac{\log (9)}{\log (4)} \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.15

Réécrivez $\log (9)$ comme $\log (3^{2})$ .

$1 + 1 + \frac{\log (3^{2})}{\log (4)} \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.16

Développez $\log (3^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$1 + 1 + \frac{2 \log (3)}{\log (4)} \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.17

Réécrivez $\log (4)$ comme $\log (2^{2})$ .

$1 + 1 + \frac{2 \log (3)}{\log (2^{2})} \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.18

Développez $\log (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$1 + 1 + \frac{2 \log (3)}{2 \log (2)} \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.19

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.19.1

Annulez le facteur commun.

$1 + 1 + \frac{2 \log (3)}{2 \log (2)} \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.19.2

Réécrivez l’expression.

$1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.20

Réécrivez $\log_{3} (2)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 2.20.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.20.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (3)} + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.21

Annulez le facteur commun de $\log (3)$ .

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Étape 2.21.1

Annulez le facteur commun.

$1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (3)} + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.21.2

Réécrivez l’expression.

$1 + 1 + \frac{1}{\log (2)} \log (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.22

Annulez le facteur commun de $\log (2)$ .

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Étape 2.22.1

Annulez le facteur commun.

$1 + 1 + \frac{1}{\log (2)} \log (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.22.2

Réécrivez l’expression.

$1 + 1 + 1 + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Étape 2.23

Réécrivez $\log_{4} (9)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 2.23.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$1 + 1 + 1 + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{9} (4)$

Étape 2.23.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (9)}{\log (4)} \log_{9} (4)$

Étape 2.24

Réécrivez $\log (9)$ comme $\log (3^{2})$ .

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (3^{2})}{\log (4)} \log_{9} (4)$

Étape 2.25

Développez $\log (3^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$1 + 1 + 1 + \frac{2 \log (3)}{\log (4)} \log_{9} (4)$

Étape 2.26

Réécrivez $\log (4)$ comme $\log (2^{2})$ .

$1 + 1 + 1 + \frac{2 \log (3)}{\log (2^{2})} \log_{9} (4)$

Étape 2.27

Développez $\log (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$1 + 1 + 1 + \frac{2 \log (3)}{2 \log (2)} \log_{9} (4)$

Étape 2.28

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.28.1

Annulez le facteur commun.

$1 + 1 + 1 + \frac{2 \log (3)}{2 \log (2)} \log_{9} (4)$

Étape 2.28.2

Réécrivez l’expression.

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \log_{9} (4)$

Étape 2.29

Réécrivez $\log_{9} (4)$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 2.29.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Étape 2.29.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (4)}{\log (9)}$

Étape 2.30

Réécrivez $\log (4)$ comme $\log (2^{2})$ .

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2^{2})}{\log (9)}$

Étape 2.31

Développez $\log (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{2 \log (2)}{\log (9)}$

Étape 2.32

Réécrivez $\log (9)$ comme $\log (3^{2})$ .

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{2 \log (2)}{\log (3^{2})}$

Étape 2.33

Développez $\log (3^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{2 \log (2)}{2 \log (3)}$

Étape 2.34

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.34.1

Annulez le facteur commun.

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{2 \log (2)}{2 \log (3)}$

Étape 2.34.2

Réécrivez l’expression.

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (3)}$

Étape 2.35

Annulez le facteur commun de $\log (3)$ .

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Étape 2.35.1

Annulez le facteur commun.

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (3)}$

Étape 2.35.2

Réécrivez l’expression.

$1 + 1 + 1 + \frac{1}{\log (2)} \log (2)$

Étape 2.36

Annulez le facteur commun de $\log (2)$ .

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Étape 2.36.1

Annulez le facteur commun.

$1 + 1 + 1 + \frac{1}{\log (2)} \log (2)$

Étape 2.36.2

Réécrivez l’expression.

$1 + 1 + 1 + 1$

Étape 3

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 3.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 + 1 + 1$

Étape 3.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$3 + 1$

Étape 3.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$4$