Pré-calcul Exemples

$(- 1, \frac{π}{8})$

Étape 1

Utilisez les formules de conversion pour convertir des coordonnées polaires en coordonnées rectangulaires.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues de $r = - 1$ et $θ = \frac{π}{8}$ dans les formules.

$x = (- 1) \cos (\frac{π}{8})$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$x = - 1 \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 3.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$x = - 1 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 3.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le cosinus est positif dans le premier quadrant.

$x = - 1 \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 3.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 3.5

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Étape 3.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x = - 1 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 3.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = - 1 \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 3.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - 1 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 3.5.4

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.5.4.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = - 1 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 3.5.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = - 1 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

$x = - 1 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 3.5.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 3.5.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 3.5.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

$x = - 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 4

Réécrivez $- 1 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ comme $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = (- 1) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez $\frac{π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Étape 5.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Étape 5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le sinus est positif dans le premier quadrant.

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Étape 5.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Étape 5.4.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 5.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 5.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 5.4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 5.4.5

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.4.5.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 5.4.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Étape 5.4.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 5.4.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.4.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 5.4.7.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Étape 6

Réécrivez $- 1 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ comme $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Étape 7

La représentation rectangulaire du point polaire $(- 1, \frac{π}{8})$ est $(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}, - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$ .

$(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}, - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$