Pré-calcul Exemples

$(4, \frac{7 π}{12})$

Étape 1

Utilisez les formules de conversion pour convertir des coordonnées polaires en coordonnées rectangulaires.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues de $r = 4$ et $θ = \frac{7 π}{12}$ dans les formules.

$x = (4) \cos (\frac{7 π}{12})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Étape 3

La valeur exacte de $\cos (\frac{7 π}{12})$ est $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{7 π}{12}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$x = 4 \cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Étape 3.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$x = 4 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Étape 3.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$x = 4 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Étape 3.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Étape 3.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$x = 4 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Étape 3.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Étape 3.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x = 4 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Étape 3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 4 (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Étape 3.4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = 4 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Étape 3.4.6

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.4.6.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = 4 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Étape 3.4.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = 4 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

$x = 4 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Étape 3.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$x = 4 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Étape 3.4.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = 4 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Étape 3.4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = 4 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

$x = 4 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

$x = 4 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

$x = 4 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ dans le numérateur.

$x = 4 (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Étape 4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = 2 (2) (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun.

$x = 2 \cdot (2 (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}))$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Étape 4.4

Réécrivez l’expression.

$x = 2 (- \sqrt{2 - \sqrt{3}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

$x = 2 (- \sqrt{2 - \sqrt{3}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Étape 6

La valeur exacte de $\sin (\frac{7 π}{12})$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

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Étape 6.1

Réécrivez $\frac{7 π}{12}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

Étape 6.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

Étape 6.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le sinus est positif dans le deuxième quadrant.

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Étape 6.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Étape 6.4.1

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

Étape 6.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Étape 6.4.3

Multipliez $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 6.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{3}}{2})}{2}}$

Étape 6.4.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $1$ .

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Étape 6.4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Étape 6.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}$

Étape 6.4.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 6.4.7

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.4.7.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Étape 6.4.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

Étape 6.4.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}})$

Étape 6.4.9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.9.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}})$

Étape 6.4.9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2})$

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2})$

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2})$

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2})$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 2 (2) (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2})$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun.

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 2 \cdot (2 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}))$

Étape 7.3

Réécrivez l’expression.

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}$

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}$

Étape 8

La représentation rectangulaire du point polaire $(4, \frac{7 π}{12})$ est $(- 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}, 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}})$ .

$(- 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}, 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}})$