Pré-calcul Exemples

$(4, \frac{π}{12})$

Étape 1

Utilisez les formules de conversion pour convertir des coordonnées polaires en coordonnées rectangulaires.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues de $r = 4$ et $θ = \frac{π}{12}$ dans les formules.

$x = (4) \cos (\frac{π}{12})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Étape 3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 3.1

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$x = 4 \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Étape 3.2

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$x = 4 (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Étape 3.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Étape 3.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Étape 3.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6}))$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Étape 3.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Étape 3.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 3.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Étape 3.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = 4 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Étape 3.7.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Étape 3.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Étape 3.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Étape 3.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = 4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$x = 4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Étape 5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 5.1

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Étape 5.2

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 5.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 5.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 5.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 5.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 5.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 5.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 5.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 5.7.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 5.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 5.7.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.7.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Étape 5.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Étape 5.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

Étape 6.2

Réécrivez l’expression.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Étape 7

La représentation rectangulaire du point polaire $(4, \frac{π}{12})$ est $(\sqrt{6} + \sqrt{2}, \sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$(\sqrt{6} + \sqrt{2}, \sqrt{6} - \sqrt{2})$