Pré-calcul Exemples

${(x - 4)}^{2} = 2 (y - \frac{5}{2})$

Étape 1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $2 (y - \frac{5}{2}) = {(x - 4)}^{2}$ .

$2 (y - \frac{5}{2}) = {(x - 4)}^{2}$

Étape 1.2

Simplifiez $2 (y - \frac{5}{2})$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y + 2 (- \frac{5}{2}) = {(x - 4)}^{2}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5}{2}$ dans le numérateur.

$2 y + 2 (\frac{- 5}{2}) = {(x - 4)}^{2}$

Étape 1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 y + 2 (\frac{- 5}{2}) = {(x - 4)}^{2}$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 y - 5 = {(x - 4)}^{2}$

Étape 1.3

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y = {(x - 4)}^{2} + 5$

Étape 1.4

Divisez chaque terme dans $2 y = {(x - 4)}^{2} + 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y = {(x - 4)}^{2} + 5$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{{(x - 4)}^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{{(x - 4)}^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 1.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{{(x - 4)}^{2}}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x - 4)}^{2} + \frac{5}{2}$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 4$

$k = \frac{5}{2}$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers le haut.

ouvre vers le haut

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(4, \frac{5}{2})$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Étape 5.3.2

Divisez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 6

Déterminez le foyer.

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Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(4, 3)$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = 4$

Étape 8

Déterminez la directrice.

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Étape 8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = 2$

Étape 9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le haut

Sommet : $(4, \frac{5}{2})$

Foyer : $(4, 3)$

Axe de symétrie : $x = 4$

Directrice : $y = 2$

Étape 10