Pré-calcul Exemples

$y > 4^{x}$ , $y < 8 - x^{2}$ , $x + y > 0$

Étape 1

Simplifiez la première inégalité.

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Étape 1.1

Réécrivez de sorte que $x$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$4^{x} < y$ et $y < 8 - x^{2}$

Étape 1.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (4^{x}) < \ln (y)$ et $y < 8 - x^{2}$

Étape 1.3

Développez $\ln (4^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (4) < \ln (y)$ et $y < 8 - x^{2}$

Étape 1.4

Divisez chaque terme dans $x \ln (4) < \ln (y)$ par $\ln (4)$ et simplifiez.

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Étape 1.4.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (4) < \ln (y)$ par $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $y < 8 - x^{2}$

Étape 1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (4)$ .

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Étape 1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $y < 8 - x^{2}$

Étape 1.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $y < 8 - x^{2}$

Étape 2

Simplifiez la deuxième inégalité.

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Étape 2.1

Réécrivez de sorte que $x$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $8 - x^{2} > y$

Étape 2.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’inégalité.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $- x^{2} > y - 8$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- x^{2} > y - 8$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} > y - 8$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $\frac{- x^{2}}{- 1} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $\frac{x^{2}}{1} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.3.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $x^{2} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{y}{- 1}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $x^{2} < - 1 \cdot y + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot y$ comme $- y$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $x^{2} < - y + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.3.3.1.3

Divisez $- 8$ par $- 1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $x^{2} < - y + 8$

Étape 2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $\sqrt{x^{2}} < \sqrt{- y + 8}$

Étape 2.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $| x | < \sqrt{- y + 8}$

Étape 2.6

Écrivez $| x | < \sqrt{- y + 8}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.6.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 2.6.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x < \sqrt{- y + 8}$

Étape 2.6.3

Déterminez le domaine de $x < \sqrt{- y + 8}$ et déterminez l’intersection avec $x \geq 0$ .

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Étape 2.6.3.1

Déterminez le domaine de $x < \sqrt{- y + 8}$ .

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Étape 2.6.3.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- y + 8}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- y + 8 \geq 0$

Étape 2.6.3.1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.6.3.1.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’inégalité.

$- y \geq - 8$

Étape 2.6.3.1.2.2

Divisez chaque terme dans $- y \geq - 8$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.6.3.1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- y \geq - 8$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- y}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.6.3.1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.3.1.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.6.3.1.2.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y \leq \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.6.3.1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.3.1.2.2.3.1

Divisez $- 8$ par $- 1$ .

$y \leq 8$

Étape 2.6.3.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 8]$

Étape 2.6.3.2

Déterminez l’intersection de $x \geq 0$ et $(- \infty, 8]$ .

$0 \leq x \leq 8$

Étape 2.6.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 2.6.5

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x < \sqrt{- y + 8}$

Étape 2.6.6

Déterminez le domaine de $- x < \sqrt{- y + 8}$ et déterminez l’intersection avec $x < 0$ .

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Étape 2.6.6.1

Déterminez le domaine de $- x < \sqrt{- y + 8}$ .

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Étape 2.6.6.1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- y + 8}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- y + 8 \geq 0$

Étape 2.6.6.1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.6.6.1.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’inégalité.

$- y \geq - 8$

Étape 2.6.6.1.2.2

Divisez chaque terme dans $- y \geq - 8$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.6.6.1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- y \geq - 8$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- y}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.6.6.1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.6.1.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.6.6.1.2.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y \leq \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.6.6.1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.6.1.2.2.3.1

Divisez $- 8$ par $- 1$ .

$y \leq 8$

Étape 2.6.6.1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 8]$

Étape 2.6.6.2

Déterminez l’intersection de $x < 0$ et $(- \infty, 8]$ .

$x < 0$

Étape 2.6.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et ${\begin{cases} x < \sqrt{- y + 8} & 0 \leq x \leq 8 \\ - x < \sqrt{- y + 8} & x < 0 \end{cases}$

Étape 2.7

Résolvez $x < \sqrt{- y + 8}$ quand $0 \leq x \leq 8$ .

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Étape 2.7.1

Résolvez $x < \sqrt{- y + 8}$ pour $y$ .

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Étape 2.7.1.1

Réécrivez de sorte que $y$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $\sqrt{- y + 8} > x$

Étape 2.7.1.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et ${\sqrt{- y + 8}}^{2} > x^{2}$

Étape 2.7.1.3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 2.7.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- y + 8}$ comme ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > x^{2}$

Étape 2.7.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.7.1.3.2.1

Simplifiez ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.7.1.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.7.1.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

Étape 2.7.1.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

Étape 2.7.1.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $- y + 8 > x^{2}$

Étape 2.7.1.3.2.1.2

Simplifiez

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $- y + 8 > x^{2}$

Étape 2.7.1.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.7.1.4.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’inégalité.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $- y > x^{2} - 8$

Étape 2.7.1.4.2

Divisez chaque terme dans $- y > x^{2} - 8$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- y > x^{2} - 8$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $\frac{- y}{- 1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.7.1.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $\frac{y}{1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.7.1.4.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $y < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.7.1.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.7.1.4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1.4.2.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $y < - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.7.1.4.2.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $y < - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.7.1.4.2.3.1.3

Divisez $- 8$ par $- 1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $y < - x^{2} + 8$

Étape 2.7.2

Déterminez l’intersection de $y < - x^{2} + 8$ et $0 \leq x \leq 8$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $0 \leq x \leq N o$ Minimum

Étape 2.8

Résolvez $- x < \sqrt{- y + 8}$ quand $x < 0$ .

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Étape 2.8.1

Résolvez $- x < \sqrt{- y + 8}$ pour $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1.1

Réécrivez de sorte que $y$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $\sqrt{- y + 8} > - x$

Étape 2.8.1.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et ${\sqrt{- y + 8}}^{2} > {(- x)}^{2}$

Étape 2.8.1.3

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- y + 8}$ comme ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- x)}^{2}$

Étape 2.8.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1.3.2.1

Simplifiez ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x)}^{2}$

Étape 2.8.1.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.8.1.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x)}^{2}$

Étape 2.8.1.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $- y + 8 > {(- x)}^{2}$

Étape 2.8.1.3.2.1.2

Simplifiez

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $- y + 8 > {(- x)}^{2}$

Étape 2.8.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.8.1.3.3.1

Simplifiez ${(- x)}^{2}$ .

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Étape 2.8.1.3.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- x$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $- y + 8 > {(- 1)}^{2} x^{2}$

Étape 2.8.1.3.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $- y + 8 > 1 x^{2}$

Étape 2.8.1.3.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $- y + 8 > x^{2}$

Étape 2.8.1.4

Résolvez $y$ .

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Étape 2.8.1.4.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’inégalité.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $- y > x^{2} - 8$

Étape 2.8.1.4.2

Divisez chaque terme dans $- y > x^{2} - 8$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.8.1.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- y > x^{2} - 8$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $\frac{- y}{- 1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.8.1.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1.4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $\frac{y}{1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.8.1.4.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $y < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.8.1.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1.4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1.4.2.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $y < - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.8.1.4.2.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $y < - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.8.1.4.2.3.1.3

Divisez $- 8$ par $- 1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ et $y < - x^{2} + 8$

Étape 2.8.2

Déterminez l’intersection de $y < - x^{2} + 8$ et $x < 0$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $x < N o$ Minimum

Étape 2.9

Déterminez l’union des solutions.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $x < N o$ Maximum

Étape 3