Pré-calcul Exemples

$x = t + \frac{1}{t}$ , $y = t - \frac{1}{t}$

Étape 1

Définissez l’équation paramétrique pour $x (t)$ afin de résoudre l’équation pour $t$ .

$x = t + \frac{1}{t}$

Étape 2

Réécrivez l’équation comme $t + \frac{1}{t} = x$ .

$t + \frac{1}{t} = x$

Étape 3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, t, 1$

Étape 3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$t$

Étape 4

Multiplier chaque terme dans $t + \frac{1}{t} = x$ par $t$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.1

Multipliez chaque terme dans $t + \frac{1}{t} = x$ par $t$ .

$t \cdot t + \frac{1}{t} t = x t$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $t$ par $t$ .

$t^{2} + \frac{1}{t} t = x t$

Étape 4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$t^{2} + \frac{1}{t} t = x t$

Étape 4.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$t^{2} + 1 = x t$

Étape 5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $x t$ des deux côtés de l’équation.

$t^{2} + 1 - x t = 0$

Étape 5.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - x$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $t$ .

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4

Simplifiez

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Étape 5.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot 1$ comme ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - x$ et $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.1.3

Simplifiez

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Étape 5.4.1.3.1

Multipliez $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 5.4.1.3.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.1.3.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.1.3.2

Multipliez $- (2 \cdot 1 \cdot 1)$ .

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Étape 5.4.1.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.1.3.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.1.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Étape 5.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot 1$ comme ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - x$ et $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.1.3

Simplifiez

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Étape 5.5.1.3.1

Multipliez $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 5.5.1.3.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.1.3.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.1.3.2

Multipliez $- (2 \cdot 1 \cdot 1)$ .

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Étape 5.5.1.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.1.3.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.1.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Étape 5.5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$t = \frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Étape 5.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot 1$ comme ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - x$ et $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.3

Simplifiez

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Étape 5.6.1.3.1

Multipliez $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 5.6.1.3.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2 \cdot 1) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.3.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.3.2

Multipliez $- (2 \cdot 1 \cdot 1)$ .

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Étape 5.6.1.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.3.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.1.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$t = \frac{x \pm \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Étape 5.6.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$t = \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Étape 5.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$t = \frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

$t = \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

$t = \frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

$t = \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}$

Étape 6

Remplacez $t$ dans l’équation par $y$ pour obtenir l’équation en termes de $x$ .

$y = (\frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}, \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}) - \frac{1}{(\frac{x + \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2}, \frac{x - \sqrt{(- x + 2) (- x - 2)}}{2})}$