Pré-calcul Exemples

$x = 4 \sqrt{4 - t^{2}}$ , $y = 3 (1 - \sqrt{4 - t^{2}})$

Étape 1

Définissez l’équation paramétrique pour $x (t)$ afin de résoudre l’équation pour $t$ .

$x = 4 \sqrt{4 - t^{2}}$

Étape 2

Réécrivez l’équation comme $4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ .

$4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ par $4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $4 \sqrt{4 - t^{2}} = x$ par $4$ .

$\frac{4 \sqrt{4 - t^{2}}}{4} = \frac{x}{4}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sqrt{4 - t^{2}}}{4} = \frac{x}{4}$

Étape 3.2.1.1.2

Divisez $\sqrt{4 - t^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{4 - t^{2}} = \frac{x}{4}$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} - t^{2}} = \frac{x}{4}$

Étape 3.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = t$ .

$\sqrt{(2 + t) (2 - t)} = \frac{x}{4}$

Étape 4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{(2 + t) (2 - t)}}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(2 + t) (2 - t)}$ comme ${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Simplifiez ${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${((2 + t) (2 - t))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${((2 + t) (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Développez $(2 + t) (2 - t)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(2 (2 - t) + t (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 5.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

${(2 \cdot 2 + 2 (- t) + t (2 - t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 5.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

${(2 \cdot 2 + 2 (- t) + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.3.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

${(4 + 2 (- t) + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 5.2.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

${(4 - 2 t + t \cdot 2 + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 5.2.1.3.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $t$ .

${(4 - 2 t + 2 \cdot t + t (- t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 5.2.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

${(4 - 2 t + 2 t - t \cdot t)}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 5.2.1.3.1.5

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.3.1.5.1

Déplacez $t$ .

${(4 - 2 t + 2 t - (t \cdot t))}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 5.2.1.3.1.5.2

Multipliez $t$ par $t$ .

${(4 - 2 t + 2 t - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 5.2.1.3.2

Additionnez $- 2 t$ et $2 t$ .

${(4 + 0 - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 5.2.1.3.3

Additionnez $4$ et $0$ .

${(4 - t^{2})}^{1} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 5.2.1.4

Simplifiez

$4 - t^{2} = {(\frac{x}{4})}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Simplifiez ${(\frac{x}{4})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{4}$ .

$4 - t^{2} = \frac{x^{2}}{4^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$4 - t^{2} = \frac{x^{2}}{16}$

Étape 6

Résolvez $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $- t^{2} = \frac{x^{2}}{16} - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- t^{2}}{- 1} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{t^{2}}{1} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Étape 6.2.2.2

Divisez $t^{2}$ par $1$ .

$t^{2} = \frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1} + \frac{- 4}{- 1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{x^{2}}{16}}{- 1}$ .

$t^{2} = - 1 \cdot \frac{x^{2}}{16} + \frac{- 4}{- 1}$

Étape 6.2.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{x^{2}}{16}$ comme $- \frac{x^{2}}{16}$ .

$t^{2} = - \frac{x^{2}}{16} + \frac{- 4}{- 1}$

Étape 6.2.3.1.3

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$t^{2} = - \frac{x^{2}}{16} + 4$

Étape 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 4}$

Étape 6.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{- \frac{x^{2}}{16} + 2^{2}}$

Étape 6.4.1.2

Réécrivez $\frac{x^{2}}{16}$ comme ${(\frac{x}{4})}^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{- {(\frac{x}{4})}^{2} + 2^{2}}$

Étape 6.4.1.3

Remettez dans l’ordre $- {(\frac{x}{4})}^{2}$ et $2^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{4})}^{2}}$

Étape 6.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = \frac{x}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

Étape 6.4.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{4}{4} + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

Étape 6.4.4

Associez $2$ et $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{x}{4}) (2 - \frac{x}{4})}$

Étape 6.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$t = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 4 + x}{4} (2 - \frac{x}{4})}$

Étape 6.4.6

Multipliez $2$ par $4$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (2 - \frac{x}{4})}$

Étape 6.4.7

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{x}{4})}$

Étape 6.4.8

Associez $2$ et $\frac{4}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} (\frac{2 \cdot 4}{4} - \frac{x}{4})}$

Étape 6.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} \cdot \frac{2 \cdot 4 - x}{4}}$

Étape 6.4.10

Multipliez $2$ par $4$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{8 + x}{4} \cdot \frac{8 - x}{4}}$

Étape 6.4.11

Multipliez $\frac{8 + x}{4}$ par $\frac{8 - x}{4}$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{4 \cdot 4}}$

Étape 6.4.12

Multipliez $4$ par $4$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{(8 + x) (8 - x)}{16}}$

Étape 6.4.13

Réécrivez $\frac{(8 + x) (8 - x)}{16}$ comme ${(\frac{1}{4})}^{2} ((8 + x) (8 - x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.13.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(8 + x) (8 - x)$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{16}}$

Étape 6.4.13.2

Factorisez la puissance parfaite $4^{2}$ dans $16$ .

$t = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{4^{2} \cdot 1}}$

Étape 6.4.13.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((8 + x) (8 - x))}{4^{2} \cdot 1}$ .

$t = \pm \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((8 + x) (8 - x))}$

Étape 6.4.14

Extrayez les termes de sous le radical.

$t = \pm \frac{1}{4} \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$

Étape 6.4.15

Associez $\frac{1}{4}$ et $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Étape 6.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Étape 6.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Étape 6.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

$t = - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$

Étape 7

Remplacez $t$ dans l’équation par $y$ pour obtenir l’équation en termes de $x$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{4 - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$

Étape 8

Simplifiez $3 (1 - \sqrt{4 - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{2^{2} - {(\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})}^{2}})$

Étape 8.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 - (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Étape 8.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.3.1

Multipliez $- 1$ par chaque élément de la matrice.

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Étape 8.1.3.2

Multipliez $- - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, 1 (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})))})$

Étape 8.1.3.2.2

Multipliez $\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}$ par $1$ .

$y = 3 (1 - \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Étape 8.2

Simplifiez en multipliant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 3 \cdot 1 + 3 (- \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Étape 8.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$y = 3 + 3 (- \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))})$

Étape 8.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Étape 8.2.2.3

Remettez dans l’ordre $8$ et $x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Étape 8.2.2.4

Remettez dans l’ordre $8$ et $- x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Étape 8.2.2.5

Remettez dans l’ordre $8$ et $x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Étape 8.2.2.6

Remettez dans l’ordre $8$ et $- x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Étape 8.2.2.7

Remettez dans l’ordre $8$ et $x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Étape 8.2.2.8

Remettez dans l’ordre $8$ et $- x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(8 + x) (8 - x)}}{4}))}$

Étape 8.2.2.9

Remettez dans l’ordre $8$ et $x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(x + 8) (8 - x)}}{4}))}$

Étape 8.2.2.10

Remettez dans l’ordre $8$ et $- x$ .

$y = 3 - 3 \sqrt{(2 + (\frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, - \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4})) (2 + (- \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}, \frac{\sqrt{(x + 8) (- x + 8)}}{4}))}$