Pré-calcul Exemples

$x - 2 y = - \frac{3}{4}$ , $4 x + 3 y = 2$

Étape 1

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 4 & 3 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{3}{4} \\ 2 \end{array}]$

Étape 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 4 & 3 \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 4 & 3 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 4 & 3 \end{array} |$

Étape 2.2

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 3 - 4 \cdot - 2$

Étape 2.3

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 - 4 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$3 + 8$

Étape 2.3.2

Additionnez $3$ et $8$ .

$11$

$D = 11$

Étape 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Étape 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Étape 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - \frac{3}{4} \\ 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - \frac{3}{4} & - 2 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Étape 4.2

Find the determinant.

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Étape 4.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- \frac{3}{4} \cdot 3 - 2 \cdot - 2$

Étape 4.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $- \frac{3}{4} \cdot 3$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 (\frac{3}{4}) - 2 \cdot - 2$

Étape 4.2.2.1.1.2

Associez $- 3$ et $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 3 \cdot 3}{4} - 2 \cdot - 2$

Étape 4.2.2.1.1.3

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{- 9}{4} - 2 \cdot - 2$

Étape 4.2.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{4} - 2 \cdot - 2$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$- \frac{9}{4} + 4$

Étape 4.2.2.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{9}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 4.2.2.3

Associez $4$ et $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Étape 4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 9 + 4 \cdot 4}{4}$

Étape 4.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.5.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{- 9 + 16}{4}$

Étape 4.2.2.5.2

Additionnez $- 9$ et $16$ .

$\frac{7}{4}$

$D_{x} = \frac{7}{4}$

Étape 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Étape 4.4

Substitute $11$ for $D$ and $\frac{7}{4}$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{\frac{7}{4}}{11}$

Étape 4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{11}$

Étape 4.6

Multipliez $\frac{7}{4} \cdot \frac{1}{11}$ .

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Étape 4.6.1

Multipliez $\frac{7}{4}$ par $\frac{1}{11}$ .

$x = \frac{7}{4 \cdot 11}$

Étape 4.6.2

Multipliez $4$ par $11$ .

$x = \frac{7}{44}$

Étape 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Étape 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - \frac{3}{4} \\ 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - \frac{3}{4} \\ 4 & 2 \end{array} |$

Étape 5.2

Find the determinant.

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Étape 5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 2 - 4 (- \frac{3}{4})$

Étape 5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - 4 (- \frac{3}{4})$

Étape 5.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$2 - 4 (\frac{- 3}{4})$

Étape 5.2.2.1.2.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$2 + 4 (- 1) \frac{- 3}{4}$

Étape 5.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 + 4 \cdot - 1 \frac{- 3}{4}$

Étape 5.2.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$2 - - 3$

Étape 5.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$2 + 3$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $2$ et $3$ .

$5$

$D_{y} = 5$

Étape 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Étape 5.4

Substitute $11$ for $D$ and $5$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{5}{11}$

Étape 6

Indiquez la solution au système d’équations.

$x = \frac{7}{44}$

$y = \frac{5}{11}$