Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{21} y = \frac{221}{2}$ , $x - \frac{1}{2} y = - 84$

Étape 1

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$

Étape 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Write $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array} |$

Étape 2.2

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{21}$

Étape 2.3

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{1}{21}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{1}{4} - \frac{1}{21}$

Étape 2.3.2

Pour écrire $- \frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{21}{21}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{21}{21} - \frac{1}{21}$

Étape 2.3.3

Pour écrire $- \frac{1}{21}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{21}{21} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 2.3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $84$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.4.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{21}{21}$ .

$- \frac{21}{4 \cdot 21} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $4$ par $21$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 2.3.4.3

Multipliez $\frac{1}{21}$ par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{4}{21 \cdot 4}$

Étape 2.3.4.4

Multipliez $21$ par $4$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{4}{84}$

Étape 2.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 21 - 4}{84}$

Étape 2.3.6

Soustrayez $4$ de $- 21$ .

$\frac{- 25}{84}$

Étape 2.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{25}{84}$

$D = - \frac{25}{84}$

Étape 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Étape 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Étape 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{221}{2} & \frac{1}{21} \\ - 84 & - \frac{1}{2} \end{array} |$

Étape 4.2

Find the determinant.

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Étape 4.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{221}{2} (- \frac{1}{2}) - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Étape 4.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $\frac{221}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Multipliez $\frac{221}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{221}{2 \cdot 2} - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Étape 4.2.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{221}{4} - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $21$ .

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Étape 4.2.2.1.2.1

Factorisez $21$ à partir de $- 84$ .

$- \frac{221}{4} - (21 (- 4) \frac{1}{21})$

Étape 4.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{221}{4} - (21 \cdot - 4 \frac{1}{21})$

Étape 4.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{221}{4} - - 4$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$- \frac{221}{4} + 4$

Étape 4.2.2.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{221}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 4.2.2.3

Associez $4$ et $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{221}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Étape 4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 221 + 4 \cdot 4}{4}$

Étape 4.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.5.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{- 221 + 16}{4}$

Étape 4.2.2.5.2

Additionnez $- 221$ et $16$ .

$\frac{- 205}{4}$

Étape 4.2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{205}{4}$

$D_{x} = - \frac{205}{4}$

Étape 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Étape 4.4

Substitute $- \frac{25}{84}$ for $D$ and $- \frac{205}{4}$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- \frac{205}{4}}{- \frac{25}{84}}$

Étape 4.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{\frac{205}{4}}{\frac{25}{84}}$

Étape 4.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{205}{4} \cdot \frac{84}{25}$

Étape 4.7

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.7.1

Factorisez $5$ à partir de $205$ .

$x = \frac{5 (41)}{4} \cdot \frac{84}{25}$

Étape 4.7.2

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$x = \frac{5 \cdot 41}{4} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Étape 4.7.3

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{5 \cdot 41}{4} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Étape 4.7.4

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{84}{5}$

Étape 4.8

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.8.1

Factorisez $4$ à partir de $84$ .

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{4 (21)}{5}$

Étape 4.8.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{4 \cdot 21}{5}$

Étape 4.8.3

Réécrivez l’expression.

$x = 41 (\frac{21}{5})$

Étape 4.9

Associez $41$ et $\frac{21}{5}$ .

$x = \frac{41 \cdot 21}{5}$

Étape 4.10

Multipliez $41$ par $21$ .

$x = \frac{861}{5}$

Étape 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Étape 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{221}{2} \\ 1 & - 84 \end{array} |$

Étape 5.2

Find the determinant.

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Étape 5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 84 - \frac{221}{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 84$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (- 42)) - \frac{221}{2}$

Étape 5.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 42) - \frac{221}{2}$

Étape 5.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 42 - \frac{221}{2}$

Étape 5.2.2.2

Pour écrire $- 42$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 42 \cdot \frac{2}{2} - \frac{221}{2}$

Étape 5.2.2.3

Associez $- 42$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 42 \cdot 2}{2} - \frac{221}{2}$

Étape 5.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 42 \cdot 2 - 221}{2}$

Étape 5.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.2.5.1

Multipliez $- 42$ par $2$ .

$\frac{- 84 - 221}{2}$

Étape 5.2.2.5.2

Soustrayez $221$ de $- 84$ .

$\frac{- 305}{2}$

Étape 5.2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{305}{2}$

$D_{y} = - \frac{305}{2}$

Étape 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Étape 5.4

Substitute $- \frac{25}{84}$ for $D$ and $- \frac{305}{2}$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- \frac{305}{2}}{- \frac{25}{84}}$

Étape 5.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{\frac{305}{2}}{\frac{25}{84}}$

Étape 5.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{305}{2} \cdot \frac{84}{25}$

Étape 5.7

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.7.1

Factorisez $5$ à partir de $305$ .

$y = \frac{5 (61)}{2} \cdot \frac{84}{25}$

Étape 5.7.2

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$y = \frac{5 \cdot 61}{2} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Étape 5.7.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{5 \cdot 61}{2} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Étape 5.7.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{84}{5}$

Étape 5.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.8.1

Factorisez $2$ à partir de $84$ .

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{2 (42)}{5}$

Étape 5.8.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{2 \cdot 42}{5}$

Étape 5.8.3

Réécrivez l’expression.

$y = 61 (\frac{42}{5})$

Étape 5.9

Associez $61$ et $\frac{42}{5}$ .

$y = \frac{61 \cdot 42}{5}$

Étape 5.10

Multipliez $61$ par $42$ .

$y = \frac{2562}{5}$

Étape 6

Indiquez la solution au système d’équations.

$x = \frac{861}{5}$

$y = \frac{2562}{5}$