Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = 1$ , $\frac{1}{4} x - \frac{1}{6} y = - \frac{3}{2}$

Étape 1

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{3}{2} \end{array}]$

Étape 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Write $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Étape 2.2

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6}) - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 2.3

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{1}{6})$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 6} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 2.3.1.1.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{3 \cdot 4}$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$- \frac{1}{12} - \frac{1}{12}$

Étape 2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 - 1}{12}$

Étape 2.3.3

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{12}$

Étape 2.3.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $12$ .

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Étape 2.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{12}$

Étape 2.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Étape 2.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Étape 2.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{6}$

Étape 2.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{6}$

$D = - \frac{1}{6}$

Étape 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Étape 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Étape 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{3}{2} \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & \frac{1}{3} \\ - \frac{3}{2} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

Étape 4.2

Find the determinant.

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Étape 4.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- \frac{1}{6}) - (- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 4.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $- \frac{1}{6}$ par $1$ .

$- \frac{1}{6} - (- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$- \frac{1}{6} - (\frac{- 3}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 4.2.2.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$- \frac{1}{6} - (\frac{3 (- 1)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 4.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{6} - (\frac{3 \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{3})$

Étape 4.2.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{6} - \frac{- 1}{2}$

Étape 4.2.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{6} - - \frac{1}{2}$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- - \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{6} + 1 (\frac{1}{2})$

Étape 4.2.2.1.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{1}{2}$

Étape 4.2.2.2

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{1}{6} + \frac{3}{6}$

Étape 4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 3}{6}$

Étape 4.2.2.5

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{2}{6}$

Étape 4.2.2.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 4.2.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6}$

Étape 4.2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3}$

$D_{x} = \frac{1}{3}$

Étape 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Étape 4.4

Substitute $- \frac{1}{6}$ for $D$ and $\frac{1}{3}$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{\frac{1}{3}}{- \frac{1}{6}}$

Étape 4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{1}{3} (- 1 \cdot 6)$

Étape 4.6

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$x = \frac{1}{3} \cdot - 6$

Étape 4.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$x = \frac{1}{3} \cdot (3 (- 2))$

Étape 4.7.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 2)$

Étape 4.7.3

Réécrivez l’expression.

$x = - 2$

Étape 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Étape 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 1 \\ - \frac{3}{2} \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{4} & - \frac{3}{2} \end{array} |$

Étape 5.2

Find the determinant.

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Étape 5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{3}{2}) - \frac{1}{4} \cdot 1$

Étape 5.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} (- \frac{3}{2})$ .

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Étape 5.2.2.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Étape 5.2.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$

Étape 5.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 - 1}{4}$

Étape 5.2.2.3

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$\frac{- 4}{4}$

Étape 5.2.2.4

Divisez $- 4$ par $4$ .

$- 1$

$D_{y} = - 1$

Étape 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Étape 5.4

Substitute $- \frac{1}{6}$ for $D$ and $- 1$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 1}{- \frac{1}{6}}$

Étape 5.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = \frac{1}{\frac{1}{6}}$

Étape 5.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = 1 \cdot 6$

Étape 5.7

Multipliez $6$ par $1$ .

$y = 6$

Étape 6

Indiquez la solution au système d’équations.

$x = - 2$

$y = 6$