Pré-calcul Exemples

$r + \frac{2}{3} s = 4$ , $r - s = 3$

Étape 1

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 1 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} r \\ s \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}]$

Étape 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 1 & - 1 \end{array}]$ .

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Étape 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 1 & - 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} \\ 1 & - 1 \end{array} |$

Étape 2.2

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 1 - \frac{2}{3}$

Étape 2.3

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - \frac{2}{3}$

Étape 2.3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 2.3.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 2.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 \cdot 3 - 2}{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 3 - 2}{3}$

Étape 2.3.5.2

Soustrayez $2$ de $- 3$ .

$\frac{- 5}{3}$

Étape 2.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{3}$

$D = - \frac{5}{3}$

Étape 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Étape 4

Find the value of $r$ by Cramer's Rule, which states that $r = \frac{D_{r}}{D}$ .

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Étape 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $r$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 4 & \frac{2}{3} \\ 3 & - 1 \end{array} |$

Étape 4.2

Find the determinant.

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Étape 4.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$4 \cdot - 1 - 3 (\frac{2}{3})$

Étape 4.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 - 3 (\frac{2}{3})$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$- 4 + 3 (- 1) \frac{2}{3}$

Étape 4.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 4 + 3 \cdot - 1 \frac{2}{3}$

Étape 4.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 4 - 1 \cdot 2$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 4 - 2$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $2$ de $- 4$ .

$- 6$

$D_{r} = - 6$

Étape 4.3

Use the formula to solve for $r$ .

$r = \frac{D_{r}}{D}$

Étape 4.4

Substitute $- \frac{5}{3}$ for $D$ and $- 6$ for $D_{r}$ in the formula.

$r = \frac{- 6}{- \frac{5}{3}}$

Étape 4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$r = - 6 (- \frac{3}{5})$

Étape 4.6

Multipliez $- 6 (- \frac{3}{5})$ .

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$r = 6 (\frac{3}{5})$

Étape 4.6.2

Associez $6$ et $\frac{3}{5}$ .

$r = \frac{6 \cdot 3}{5}$

Étape 4.6.3

Multipliez $6$ par $3$ .

$r = \frac{18}{5}$

Étape 5

Find the value of $s$ by Cramer's Rule, which states that $s = \frac{D_{s}}{D}$ .

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Étape 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $s$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Étape 5.2

Find the determinant.

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Étape 5.2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot 3 - 1 \cdot 4$

Étape 5.2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 - 1 \cdot 4$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$3 - 4$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $4$ de $3$ .

$- 1$

$D_{s} = - 1$

Étape 5.3

Use the formula to solve for $s$ .

$s = \frac{D_{s}}{D}$

Étape 5.4

Substitute $- \frac{5}{3}$ for $D$ and $- 1$ for $D_{s}$ in the formula.

$s = \frac{- 1}{- \frac{5}{3}}$

Étape 5.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$s = \frac{1}{\frac{5}{3}}$

Étape 5.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$s = 1 (\frac{3}{5})$

Étape 5.7

Multipliez $\frac{3}{5}$ par $1$ .

$s = \frac{3}{5}$

Étape 6

Indiquez la solution au système d’équations.

$r = \frac{18}{5}$

$s = \frac{3}{5}$