Pré-calcul Exemples

$x + y + z = 8$ , $x - y + z = - 2$ , $2 x + 0 + 2 = 9$

Step 1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$x + y + z = 8, x - y + z = - 2, 2 x + 2 = 9$

Step 2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x + y + z = 8, x - y + z = - 2, 2 x = 9 - 2$

Step 3

Soustrayez $2$ de $9$ .

$x + y + z = 8, x - y + z = - 2, 2 x = 7$

Step 4

Représentez le système d’équations dans le format de matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 8 \\ - 2 \\ 7 \end{array}]$

Step 5

Déterminez le déterminant de $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{array}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Définissez le déterminant en répartissant en plus petits composants.

$D = - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D = - 1 (1 \cdot 0 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $0$ par $1$ .

$D = - 1 (0 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$D = - 1 (0 - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Soustrayez $2$ de $0$ .

$D = - 1 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$D = 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D = 2 - 1 (1 \cdot 0 - 2 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $0$ par $1$ .

$D = 2 - 1 (0 - 2 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$D = 2 - 1 (0 - 2) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Soustrayez $2$ de $0$ .

$D = 2 - 1 \cdot - 2 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$D = 2 + 2 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D = 2 + 2 + 0 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1)$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $1$ par $1$ .

$D = 2 + 2 + 0 (1 - 1 \cdot 1)$

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$D = 2 + 2 + 0 (1 - 1)$

Soustrayez $1$ de $1$ .

$D = 2 + 2 + 0 \cdot 0$

Multipliez $0$ par $0$ .

$D = 2 + 2 + 0$

Additionnez $2$ et $2$ .

$D = 4 + 0$

Additionnez $4$ et $0$ .

$D = 4$

Step 6

Déterminez le déterminant de $[\begin{array}{c} 8 & 1 & 1 \\ - 2 & - 1 & 1 \\ 7 & 0 & 0 \end{array}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Définissez le déterminant en répartissant en plus petits composants.

$D_{x} = - 1 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{x} = - 1 (- 2 \cdot 0 - 7 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$D_{x} = - 1 (0 - 7 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$D_{x} = - 1 (0 - 7) - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Soustrayez $7$ de $0$ .

$D_{x} = - 1 \cdot - 7 - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$D_{x} = 7 - 1 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ 7 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{x} = 7 - 1 (8 \cdot 0 - 7 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $8$ par $0$ .

$D_{x} = 7 - 1 (0 - 7 \cdot 1) + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$D_{x} = 7 - 1 (0 - 7) + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Soustrayez $7$ de $0$ .

$D_{x} = 7 - 1 \cdot - 7 + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 | \begin{array}{c} 8 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 \cdot 1 - (- 2 \cdot 1))$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $8$ par $1$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 - (- 2 \cdot 1))$

Multipliez $- (- 2 \cdot 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 + 2)$

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 (8 + 2)$

Additionnez $8$ et $2$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0 \cdot 10$

Multipliez $0$ par $10$ .

$D_{x} = 7 + 7 + 0$

Additionnez $7$ et $7$ .

$D_{x} = 14 + 0$

Additionnez $14$ et $0$ .

$D_{x} = 14$

Step 7

Déterminez le déterminant de $[\begin{array}{c} 1 & 8 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ 2 & 7 & 0 \end{array}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Définissez le déterminant en répartissant en plus petits composants.

$D_{y} = 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} |$ par $1$ .

$D_{y} = | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{y} = 1 \cdot 7 - 2 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $7$ par $1$ .

$D_{y} = 7 - 2 \cdot - 2 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$D_{y} = 7 + 4 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Additionnez $7$ et $4$ .

$D_{y} = 11 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{y} = 11 - 1 (1 \cdot 7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $7$ par $1$ .

$D_{y} = 11 - 1 (7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$D_{y} = 11 - 1 (7 - 16) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Soustrayez $16$ de $7$ .

$D_{y} = 11 - 1 \cdot - 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 8)$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 (- 2 - 1 \cdot 8)$

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 (- 2 - 8)$

Soustrayez $8$ de $- 2$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0 \cdot - 10$

Multipliez $0$ par $- 10$ .

$D_{y} = 11 + 9 + 0$

Additionnez $11$ et $9$ .

$D_{y} = 20 + 0$

Additionnez $20$ et $0$ .

$D_{y} = 20$

Step 8

Déterminez le déterminant de $[\begin{array}{c} 1 & 1 & 8 \\ 1 & - 1 & - 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{array}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Définissez le déterminant en répartissant en plus petits composants.

$D_{z} = - 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 & 7 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{z} = - 1 (1 \cdot 7 - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $7$ par $1$ .

$D_{z} = - 1 (7 - 2 \cdot - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$D_{z} = - 1 (7 + 4) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Additionnez $7$ et $4$ .

$D_{z} = - 1 \cdot 11 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$D_{z} = - 11 - 1 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 2 & 7 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{z} = - 11 - 1 (1 \cdot 7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $7$ par $1$ .

$D_{z} = - 11 - 1 (7 - 2 \cdot 8) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$D_{z} = - 11 - 1 (7 - 16) + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Soustrayez $16$ de $7$ .

$D_{z} = - 11 - 1 \cdot - 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 8)$

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 (- 2 - 1 \cdot 8)$

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 (- 2 - 8)$

Soustrayez $8$ de $- 2$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0 \cdot - 10$

Multipliez $0$ par $- 10$ .

$D_{z} = - 11 + 9 + 0$

Additionnez $- 11$ et $9$ .

$D_{z} = - 2 + 0$

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$D_{z} = - 2$

Step 9

Déterminez la valeur de $x$ par la règle de Cramer, qui stipule que $x = \frac{D_{x}}{D}$ . Dans ce cas, $x = \frac{14}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Supprimez les parenthèses.

$x = \frac{14}{4}$

Annulez le facteur commun à $14$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$x = \frac{2 (7)}{4}$

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{7}{2}$

Step 10

Déterminez la valeur de $y$ par la règle de Cramer, qui stipule que $y = \frac{D_{y}}{D}$ . Dans ce cas, $y = \frac{20}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{20}{4}$

Divisez $20$ par $4$ .

$y = 5$

Step 11

Déterminez la valeur de $z$ par la règle de Cramer, qui stipule que $z = \frac{D_{z}}{D}$ . Dans ce cas, $z = \frac{- 2}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Supprimez les parenthèses.

$z = \frac{- 2}{4}$

Simplifiez $\frac{- 2}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$z = \frac{2 (- 1)}{4}$

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$z = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Annulez le facteur commun.

$z = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Réécrivez l’expression.

$z = \frac{- 1}{2}$

Placez le signe moins devant la fraction.

$z = - \frac{1}{2}$

Step 12

La solution du système d’équations en utilisant la règle de Cramer.

$x = \frac{7}{2}, y = 5, z = - \frac{1}{2}$