Pré-calcul Exemples

$(- \sqrt{3}, \frac{2 π}{3})$

Étape 1

Convertissez de coordonnées rectangulaires $(x, y)$ en coordonnées polaires $(r, θ)$ à l’aide des formules de conversion.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 2

Remplacez $x$ et $y$ par les valeurs réelles.

$r = \sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de la coordonnée polaire.

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Étape 3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{1 {\sqrt{3}}^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.1.3

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$r = \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$r = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$r = \sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$r = \sqrt{3 + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{3 + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.2.5

Évaluez l’exposant.

$r = \sqrt{3 + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{3 + {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 π}{3}$ .

$r = \sqrt{3 + \frac{{(2 π)}^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.3.2

Appliquez la règle de produit à $2 π$ .

$r = \sqrt{3 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{3 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{3 + \frac{4 π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$r = \sqrt{3 + \frac{4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.6

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{3 \cdot \frac{9}{9} + \frac{4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.7

Associez $3$ et $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{\frac{3 \cdot 9}{9} + \frac{4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.8.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$r = \sqrt{\frac{3 \cdot 9 + 4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.8.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$r = \sqrt{\frac{27 + 4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{27 + 4 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{27 + 4 π^{2}}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{27 + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$ .

$r = \frac{\sqrt{27 + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.10.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{27 + 4 π^{2}}}{\sqrt{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 3.10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$r = \frac{\sqrt{27 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{27 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{27 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Étape 4

Remplacez $x$ et $y$ par les valeurs réelles.

$r = \frac{\sqrt{27 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{2 π}{3}}{- \sqrt{3}})$

Étape 5

La tangente inverse de $- \frac{2 π \sqrt{3}}{9}$ est $θ = 129.59052175 °$ .

$r = \frac{\sqrt{27 + 4 π^{2}}}{3}$

$θ = 129.59052175 °$

Étape 6

C’est le résultat de la conversion en coordonnées polaires dans la forme $(r, θ)$ .

$(\frac{\sqrt{27 + 4 π^{2}}}{3}, 129.59052175 °)$