Pré-calcul Exemples

$16 x^{2} - 25 y^{2} - 160 x - 250 y \cdot 75 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Complétez le carré pour $16 x^{2} - 160 x$ .

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Étape 1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 16$

$b = - 160$

$c = 0$

Étape 1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 160}{2 \cdot 16}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 160$ et $2$ .

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Étape 1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 160$ .

$d = \frac{2 \cdot - 80}{2 \cdot 16}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 80}{2 (16)}$

Étape 1.1.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 80}{2 \cdot 16}$

Étape 1.1.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 80}{16}$

Étape 1.1.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 80$ et $16$ .

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Étape 1.1.3.2.2.1

Factorisez $16$ à partir de $- 80$ .

$d = \frac{16 \cdot - 5}{16}$

Étape 1.1.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.2.2.2.1

Factorisez $16$ à partir de $16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 5}{16 (1)}$

Étape 1.1.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{16 \cdot - 5}{16 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 5}{1}$

Étape 1.1.3.2.2.2.4

Divisez $- 5$ par $1$ .

$d = - 5$

Étape 1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 160)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.2.1.1

Élevez $- 160$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{25600}{4 \cdot 16}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $16$ .

$e = 0 - \frac{25600}{64}$

Étape 1.1.4.2.1.3

Divisez $25600$ par $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 400$

Étape 1.1.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $400$ .

$e = 0 - 400$

Étape 1.1.4.2.2

Soustrayez $400$ de $0$ .

$e = - 400$

Étape 1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $16 {(x - 5)}^{2} - 400$ .

$16 {(x - 5)}^{2} - 400$

Étape 1.2

Remplacez $16 x^{2} - 160 x$ par $16 {(x - 5)}^{2} - 400$ dans l’équation $16 x^{2} - 25 y^{2} - 160 x - 250 y \cdot 75 = 0$ .

$16 {(x - 5)}^{2} - 400 - 25 y^{2} - 250 y \cdot 75 = 0$

Étape 1.3

Déplacez $- 400$ du côté droit de l’équation en ajoutant $400$ des deux côtés.

$16 {(x - 5)}^{2} - 25 y^{2} - 250 y \cdot 75 = 0 + 400$

Étape 1.4

Complétez le carré pour $- 25 y^{2} - 250 y \cdot 75$ .

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Étape 1.4.1

Multipliez $75$ par $- 250$ .

$- 25 y^{2} - 18750 y$

Étape 1.4.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 25$

$b = - 18750$

$c = 0$

Étape 1.4.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.4.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.4.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18750}{2 \cdot - 25}$

Étape 1.4.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.4.2.1

Annulez le facteur commun à $- 18750$ et $2$ .

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Étape 1.4.4.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 18750$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9375}{2 \cdot - 25}$

Étape 1.4.4.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.4.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9375}{2 (- 25)}$

Étape 1.4.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 9375}{2 \cdot - 25}$

Étape 1.4.4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 9375}{- 25}$

Étape 1.4.4.2.2

Annulez le facteur commun à $- 9375$ et $- 25$ .

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Étape 1.4.4.2.2.1

Factorisez $- 25$ à partir de $- 9375$ .

$d = \frac{- 25 (375)}{- 25}$

Étape 1.4.4.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.4.2.2.2.1

Factorisez $- 25$ à partir de $- 25$ .

$d = \frac{- 25 \cdot 375}{- 25 \cdot 1}$

Étape 1.4.4.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 25 \cdot 375}{- 25 \cdot 1}$

Étape 1.4.4.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{375}{1}$

Étape 1.4.4.2.2.2.4

Divisez $375$ par $1$ .

$d = 375$

Étape 1.4.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.4.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18750)}^{2}}{4 \cdot - 25}$

Étape 1.4.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.5.2.1.1

Élevez $- 18750$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{351562500}{4 \cdot - 25}$

Étape 1.4.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 25$ .

$e = 0 - \frac{351562500}{- 100}$

Étape 1.4.5.2.1.3

Divisez $351562500$ par $- 100$ .

$e = 0 - - 3515625$

Étape 1.4.5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 3515625$ .

$e = 0 + 3515625$

Étape 1.4.5.2.2

Additionnez $0$ et $3515625$ .

$e = 3515625$

Étape 1.4.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 25 {(y + 375)}^{2} + 3515625$ .

$- 25 {(y + 375)}^{2} + 3515625$

Étape 1.5

Remplacez $- 25 y^{2} - 250 y \cdot 75$ par $- 25 {(y + 375)}^{2} + 3515625$ dans l’équation $16 x^{2} - 25 y^{2} - 160 x - 250 y \cdot 75 = 0$ .

$16 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y + 375)}^{2} + 3515625 = 0 + 400$

Étape 1.6

Déplacez $3515625$ du côté droit de l’équation en ajoutant $3515625$ des deux côtés.

$16 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y + 375)}^{2} = 0 + 400 - 3515625$

Étape 1.7

Simplifiez $0 + 400 - 3515625$ .

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Étape 1.7.1

Additionnez $0$ et $400$ .

$16 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y + 375)}^{2} = 400 - 3515625$

Étape 1.7.2

Soustrayez $3515625$ de $400$ .

$16 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y + 375)}^{2} = - 3515225$

Étape 1.8

Inversez le signe de chaque terme de l’équation afin que le terme du côté droit soit positif.

$- 16 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y + 375)}^{2} = 3515225$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $3515225$ pour rendre le côté droit égal à un.

$- \frac{16 {(x - 5)}^{2}}{3515225} + \frac{25 {(y + 375)}^{2}}{3515225} = \frac{3515225}{3515225}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(y + 375)}^{2}}{140609} - \frac{{(x - 5)}^{2}}{\frac{3515225}{16}} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = \sqrt{140609}$

$b = \frac{5 \sqrt{140609}}{4}$

$k = - 375$

$h = 5$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(5, - 375)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(\sqrt{140609})}^{2} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Réécrivez ${\sqrt{140609}}^{2}$ comme $140609$ .

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Étape 5.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{140609}$ comme $140609^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(140609^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{140609^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Étape 5.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{140609^{\frac{2}{2}} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Étape 5.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{140609^{\frac{2}{2}} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Étape 5.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{140609^{1} + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Étape 5.3.1.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{140609 + {(\frac{5 \sqrt{140609}}{4})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.3.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{5 \sqrt{140609}}{4}$ .

$\sqrt{140609 + \frac{{(5 \sqrt{140609})}^{2}}{4^{2}}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de produit à $5 \sqrt{140609}$ .

$\sqrt{140609 + \frac{5^{2} {\sqrt{140609}}^{2}}{4^{2}}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{140609 + \frac{25 {\sqrt{140609}}^{2}}{4^{2}}}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez ${\sqrt{140609}}^{2}$ comme $140609$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{140609}$ comme $140609^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{140609 + \frac{25 {(140609^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}}}$

Étape 5.3.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}}}$

Étape 5.3.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}}$

Étape 5.3.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}}$

Étape 5.3.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609^{1}}{4^{2}}}$

Étape 5.3.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609}{4^{2}}}$

Étape 5.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.4.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{140609 + \frac{25 \cdot 140609}{16}}$

Étape 5.3.4.2

Multipliez $25$ par $140609$ .

$\sqrt{140609 + \frac{3515225}{16}}$

Étape 5.3.5

Pour écrire $140609$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{140609 \cdot \frac{16}{16} + \frac{3515225}{16}}$

Étape 5.3.6

Associez $140609$ et $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{140609 \cdot 16}{16} + \frac{3515225}{16}}$

Étape 5.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{140609 \cdot 16 + 3515225}{16}}$

Étape 5.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.8.1

Multipliez $140609$ par $16$ .

$\sqrt{\frac{2249744 + 3515225}{16}}$

Étape 5.3.8.2

Additionnez $2249744$ et $3515225$ .

$\sqrt{\frac{5764969}{16}}$

Étape 5.3.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{5764969}{16}}$ comme $\frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{16}}$

Étape 5.3.10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.10.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{4^{2}}}$

Étape 5.3.10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{5764969}}{4}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $k$ .

$(h, k + a)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(5, - 375 + \sqrt{140609})$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $k$ .

$(h, k - a)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(5, - 375 - \sqrt{140609})$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm a)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(5, - 375 + \sqrt{140609}), (5, - 375 - \sqrt{140609})$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $k$ .

$(h, k + c)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(5, - 375 + \frac{\sqrt{5764969}}{4})$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $k$ .

$(h, k - c)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(5, - 375 - \frac{\sqrt{5764969}}{4})$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(5, - 375 + \frac{\sqrt{5764969}}{4}), (5, - 375 - \frac{\sqrt{5764969}}{4})$

Étape 8

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 8.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{4^{2}}}{\sqrt{5764969}}}{4}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{4^{2}}}{\sqrt{5764969}} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 8.3.2

Associez.

$\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{4^{2}} \cdot 1}{\sqrt{5764969} \cdot 4}$

Étape 8.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.3.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot 1}{\sqrt{5764969} \cdot 4}$

Étape 8.3.3.2

Multipliez $\frac{5 \sqrt{140609}}{16}$ par $1$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{16}}{\sqrt{5764969} \cdot 4}$

Étape 8.3.3.3

Déplacez $4$ à gauche de $\sqrt{5764969}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{140609}}{16}}{4 \sqrt{5764969}}$

Étape 8.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{1}{4 \sqrt{5764969}}$

Étape 8.3.5

Multipliez $\frac{1}{4 \sqrt{5764969}}$ par $\frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{5764969}}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} (\frac{1}{4 \sqrt{5764969}} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{5764969}})$

Étape 8.3.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.6.1

Multipliez $\frac{1}{4 \sqrt{5764969}}$ par $\frac{\sqrt{5764969}}{\sqrt{5764969}}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \sqrt{5764969} \sqrt{5764969}}$

Étape 8.3.6.2

Déplacez $\sqrt{5764969}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 (\sqrt{5764969} \sqrt{5764969})}$

Étape 8.3.6.3

Élevez $\sqrt{5764969}$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 ({\sqrt{5764969}}^{1} \sqrt{5764969})}$

Étape 8.3.6.4

Élevez $\sqrt{5764969}$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 ({\sqrt{5764969}}^{1} {\sqrt{5764969}}^{1})}$

Étape 8.3.6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 {\sqrt{5764969}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.6.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 {\sqrt{5764969}}^{2}}$

Étape 8.3.6.7

Réécrivez ${\sqrt{5764969}}^{2}$ comme $5764969$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.6.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5764969}$ comme $5764969^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 {(5764969^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.6.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \cdot 5764969^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.6.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \cdot 5764969^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.6.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.6.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \cdot 5764969^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.6.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \cdot 5764969^{1}}$

Étape 8.3.6.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{4 \cdot 5764969}$

Étape 8.3.7

Multipliez $4$ par $5764969$ .

$\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{23059876}$

Étape 8.3.8

Multipliez $\frac{5 \sqrt{140609}}{16} \cdot \frac{\sqrt{5764969}}{23059876}$ .

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Étape 8.3.8.1

Multipliez $\frac{5 \sqrt{140609}}{16}$ par $\frac{\sqrt{5764969}}{23059876}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609} \sqrt{5764969}}{16 \cdot 23059876}$

Étape 8.3.8.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{5 \sqrt{5764969 \cdot 140609}}{16 \cdot 23059876}$

Étape 8.3.8.3

Multipliez $5764969$ par $140609$ .

$\frac{5 \sqrt{810606526121}}{16 \cdot 23059876}$

Étape 8.3.8.4

Multipliez $16$ par $23059876$ .

$\frac{5 \sqrt{810606526121}}{368958016}$

Étape 8.3.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.9.1

Réécrivez $810606526121$ comme $140609^{2} \cdot 41$ .

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Étape 8.3.9.1.1

Factorisez $19770890881$ à partir de $810606526121$ .

$\frac{5 \sqrt{19770890881 (41)}}{368958016}$

Étape 8.3.9.1.2

Réécrivez $19770890881$ comme $140609^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{140609^{2} \cdot 41}}{368958016}$

Étape 8.3.9.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{5 \cdot 140609 \sqrt{41}}{368958016}$

Étape 8.3.9.3

Multipliez $5$ par $140609$ .

$\frac{703045 \sqrt{41}}{368958016}$

Étape 8.3.10

Annulez le facteur commun à $703045$ et $368958016$ .

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Étape 8.3.10.1

Factorisez $140609$ à partir de $703045 \sqrt{41}$ .

$\frac{140609 (5 \sqrt{41})}{368958016}$

Étape 8.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.10.2.1

Factorisez $140609$ à partir de $368958016$ .

$\frac{140609 (5 \sqrt{41})}{140609 (2624)}$

Étape 8.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{140609 (5 \sqrt{41})}{140609 \cdot 2624}$

Étape 8.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \sqrt{41}}{2624}$

Étape 9

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ car cette hyperbole ouvre vers le haut et vers le bas.

$y = \pm \frac{4}{5} \cdot (x - (5)) - 375$

Étape 10

Simplifiez pour déterminer la première asymptote.

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Étape 10.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{4}{5} \cdot (x - (5)) - 375$

Étape 10.2

Simplifiez $\frac{4}{5} \cdot (x - (5)) - 375$ .

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Étape 10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = \frac{4}{5} \cdot (x - 5) - 375$

Étape 10.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot - 5 - 375$

Étape 10.2.1.3

Associez $\frac{4}{5}$ et $x$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot - 5 - 375$

Étape 10.2.1.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 10.2.1.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot (5 (- 1)) - 375$

Étape 10.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot (5 \cdot - 1) - 375$

Étape 10.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{4 x}{5} + 4 \cdot - 1 - 375$

Étape 10.2.1.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = \frac{4 x}{5} - 4 - 375$

Étape 10.2.2

Soustrayez $375$ de $- 4$ .

$y = \frac{4 x}{5} - 379$

Étape 11

Simplifiez pour déterminer la deuxième asymptote.

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Étape 11.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{4}{5} \cdot (x - (5)) - 375$

Étape 11.2

Simplifiez $- \frac{4}{5} \cdot (x - (5)) - 375$ .

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y = - \frac{4}{5} \cdot (x - 5) - 375$

Étape 11.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} \cdot - 5 - 375$

Étape 11.2.1.3

Associez $x$ et $\frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} \cdot - 5 - 375$

Étape 11.2.1.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 11.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{5}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 4}{5} \cdot - 5 - 375$

Étape 11.2.1.4.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 4}{5} \cdot (5 (- 1)) - 375$

Étape 11.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 4}{5} \cdot (5 \cdot - 1) - 375$

Étape 11.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} - 4 \cdot - 1 - 375$

Étape 11.2.1.5

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + 4 - 375$

Étape 11.2.1.6

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + 4 - 375$

Étape 11.2.2

Soustrayez $375$ de $4$ .

$y = - \frac{4 x}{5} - 371$

Étape 12

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = \frac{4 x}{5} - 379, y = - \frac{4 x}{5} - 371$

Étape 13

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(5, - 375)$

Sommets : $(5, - 375 + \sqrt{140609}), (5, - 375 - \sqrt{140609})$

Foyers : $(5, - 375 + \frac{\sqrt{5764969}}{4}), (5, - 375 - \frac{\sqrt{5764969}}{4})$

Excentricité : $(5, - 375 + \frac{\sqrt{5764969}}{4}), (5, - 375 - \frac{\sqrt{5764969}}{4})$

Paramètre focal : $\frac{5 \sqrt{41}}{2624}$

Asymptotes : $y = \frac{4 x}{5} - 379$ , $y = - \frac{4 x}{5} - 371$

Étape 14