Pré-calcul Exemples

$x^{2} - y^{2} - 4 y = 21$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Complétez le carré pour $- y^{2} - 4 y$ .

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Étape 1.1.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Étape 1.1.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.1.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.1.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 1.1.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Étape 1.1.3.2.2

Réécrivez $- 1 \cdot - 2$ comme $- - 2$ .

$d = - - 2$

Étape 1.1.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$d = 2$

Étape 1.1.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.1.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 4)}^{2}$ et $4$ .

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Étape 1.1.4.2.1.1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.1.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.1.4.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.1.4.2.1.1.4

Multipliez $4^{2}$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.1.4.2.1.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Étape 1.1.4.2.1.1.6

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Étape 1.1.4.2.1.2

Multipliez $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Étape 1.1.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - - 4$

Étape 1.1.4.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Étape 1.1.4.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$e = 4$

Étape 1.1.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- {(y + 2)}^{2} + 4$ .

$- {(y + 2)}^{2} + 4$

Étape 1.2

Remplacez $- y^{2} - 4 y$ par $- {(y + 2)}^{2} + 4$ dans l’équation $x^{2} - y^{2} - 4 y = 21$ .

$x^{2} - {(y + 2)}^{2} + 4 = 21$

Étape 1.3

Déplacez $4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

$x^{2} - {(y + 2)}^{2} = 21 - 4$

Étape 1.4

Soustrayez $4$ de $21$ .

$x^{2} - {(y + 2)}^{2} = 17$

Étape 1.5

Divisez chaque terme par $17$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{x^{2}}{17} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{17} = \frac{17}{17}$

Étape 1.6

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{x^{2}}{17} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{17} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = \sqrt{17}$

$b = \sqrt{17}$

$k = - 2$

$h = 0$

Étape 4

Le centre d’une hyperbole suit la forme de $(h, k)$ . Remplacez les valeurs de $h$ et $k$ .

$(0, - 2)$

Étape 5

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(\sqrt{17})}^{2} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Réécrivez ${\sqrt{17}}^{2}$ comme $17$ .

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Étape 5.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{17}$ comme $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

Étape 5.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{17^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

Étape 5.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{17^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

Étape 5.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{17^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

Étape 5.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{17^{1} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

Étape 5.3.1.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{17 + {(\sqrt{17})}^{2}}$

Étape 5.3.2

Réécrivez ${\sqrt{17}}^{2}$ comme $17$ .

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Étape 5.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{17}$ comme $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{17 + {(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{17 + 17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{17 + 17^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{17 + 17^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{17 + 17^{1}}$

Étape 5.3.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{17 + 17}$

Étape 5.3.3

Additionnez $17$ et $17$ .

$\sqrt{34}$

Étape 6

Déterminez les sommets.

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Étape 6.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\sqrt{17}, - 2)$

Étape 6.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 6.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \sqrt{17}, - 2)$

Étape 6.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(\sqrt{17}, - 2), (- \sqrt{17}, - 2)$

Étape 7

Déterminez les foyers.

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Étape 7.1

Le premier foyer d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(\sqrt{34}, - 2)$

Étape 7.3

Le deuxième foyer d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 7.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- \sqrt{34}, - 2)$

Étape 7.5

Les foyers d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Les hyperboles ont deux foyers.

$(\sqrt{34}, - 2), (- \sqrt{34}, - 2)$

Étape 8

Déterminez l’excentricité.

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Étape 8.1

Déterminez l’excentricité en utilisant la formule suivante.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{17})}^{2} + {(\sqrt{17})}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.1

Réécrivez ${\sqrt{17}}^{2}$ comme $17$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{17}$ comme $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Étape 8.3.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{17^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Étape 8.3.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{17^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Étape 8.3.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{17^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Étape 8.3.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{17^{1} + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Étape 8.3.1.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{17 + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Étape 8.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{17}}^{2}$ comme $17$ .

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Étape 8.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{17}$ comme $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{17 + {(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Étape 8.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{17 + 17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{17}}$

Étape 8.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{17 + 17^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{17}}$

Étape 8.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{17 + 17^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{17}}$

Étape 8.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{17 + 17^{1}}}{\sqrt{17}}$

Étape 8.3.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{17 + 17}}{\sqrt{17}}$

Étape 8.3.1.3

Additionnez $17$ et $17$ .

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{17}}$

Étape 8.3.2

Associez $\sqrt{34}$ et $\sqrt{17}$ en un radical unique.

$\sqrt{\frac{34}{17}}$

Étape 8.3.3

Divisez $34$ par $17$ .

$\sqrt{2}$

Étape 9

Déterminez le paramètre focal.

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Étape 9.1

Déterminez la distance du paramètre focal l’hyperbole en utilisant la formule suivante.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Étape 9.2

Remplacez les valeurs de $b$ et $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dans la formule.

$\frac{{\sqrt{17}}^{2}}{\sqrt{34}}$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Réécrivez ${\sqrt{17}}^{2}$ comme $17$ .

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Étape 9.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{17}$ comme $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{34}}$

Étape 9.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{34}}$

Étape 9.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{17^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{34}}$

Étape 9.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{17^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{34}}$

Étape 9.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{17^{1}}{\sqrt{34}}$

Étape 9.3.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{17}{\sqrt{34}}$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{17}{\sqrt{34}}$ par $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\frac{17}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$

Étape 9.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.3.1

Multipliez $\frac{17}{\sqrt{34}}$ par $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Étape 9.3.3.2

Élevez $\sqrt{34}$ à la puissance $1$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34}}$

Étape 9.3.3.3

Élevez $\sqrt{34}$ à la puissance $1$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1}}$

Étape 9.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{17 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}$

Étape 9.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{34}}^{2}$ comme $34$ .

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Étape 9.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{34}$ comme $34^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{17 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{17 \sqrt{34}}{34^{1}}$

Étape 9.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{17 \sqrt{34}}{34}$

Étape 9.3.4

Annulez le facteur commun à $17$ et $34$ .

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Étape 9.3.4.1

Factorisez $17$ à partir de $17 \sqrt{34}$ .

$\frac{17 (\sqrt{34})}{34}$

Étape 9.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.4.2.1

Factorisez $17$ à partir de $34$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{17 \cdot 2}$

Étape 9.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{17 \sqrt{34}}{17 \cdot 2}$

Étape 9.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{34}}{2}$

Étape 10

Les asymptotes suivent la forme $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ car cette hyperbole ouvre vers la gauche et vers la droite.

$y = \pm 1 \cdot x - 2$

Étape 11

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = x - 2$

Étape 12

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = - x - 2$

Étape 13

Cette hyperbole a deux asymptotes.

$y = x - 2, y = - x - 2$

Étape 14

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser une hyperbole.

Centre : $(0, - 2)$

Sommets : $(\sqrt{17}, - 2), (- \sqrt{17}, - 2)$

Foyers : $(\sqrt{34}, - 2), (- \sqrt{34}, - 2)$

Excentricité : $\sqrt{2}$

Paramètre focal : $\frac{\sqrt{34}}{2}$

Asymptotes : $y = x - 2$ , $y = - x - 2$

Étape 15