Pré-calcul Exemples

${(y - 2)}^{2} = 4 (1.5) (x - 4.5)$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Réécrivez l’équation comme $4 (1.5) (x - 4.5) = {(y - 2)}^{2}$ .

$4 (1.5) (x - 4.5) = {(y - 2)}^{2}$

Étape 1.1.2

Multipliez $4$ par $1.5$ .

$6 (x - 4.5) = {(y - 2)}^{2}$

Étape 1.1.3

Divisez chaque terme dans $6 (x - 4.5) = {(y - 2)}^{2}$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $6 (x - 4.5) = {(y - 2)}^{2}$ par $6$ .

$\frac{6 (x - 4.5)}{6} = \frac{{(y - 2)}^{2}}{6}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (x - 4.5)}{6} = \frac{{(y - 2)}^{2}}{6}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Divisez $x - 4.5$ par $1$ .

$x - 4.5 = \frac{{(y - 2)}^{2}}{6}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez par $1$ .

$x - 4.5 = \frac{1 {(y - 2)}^{2}}{6}$

Étape 1.1.3.3.2

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$x - 4.5 = \frac{1 {(y - 2)}^{2}}{6 (1)}$

Étape 1.1.3.3.3

Séparez les fractions.

$x - 4.5 = \frac{1}{6} \cdot \frac{{(y - 2)}^{2}}{1}$

Étape 1.1.3.3.4

Divisez $1$ par $6$ .

$x - 4.5 = 0.1\overline{6} \frac{{(y - 2)}^{2}}{1}$

Étape 1.1.3.3.5

Divisez ${(y - 2)}^{2}$ par $1$ .

$x - 4.5 = 0.1\overline{6} {(y - 2)}^{2}$

Étape 1.1.4

Ajoutez $4.5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 0.1\overline{6} {(y - 2)}^{2} + 4.5$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $0.1\overline{6} {(y - 2)}^{2} + 4.5$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(y - 2)}^{2}$ comme $(y - 2) (y - 2)$ .

$0.1\overline{6} ((y - 2) (y - 2)) + 4.5$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(y - 2) (y - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$0.1\overline{6} (y (y - 2) - 2 (y - 2)) + 4.5$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$0.1\overline{6} (y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)) + 4.5$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$0.1\overline{6} (y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2) + 4.5$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$0.1\overline{6} (y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2) + 4.5$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $y$ .

$0.1\overline{6} (y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2) + 4.5$

Étape 1.2.1.1.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$0.1\overline{6} (y^{2} - 2 y - 2 y + 4) + 4.5$

Étape 1.2.1.1.3.2

Soustrayez $2 y$ de $- 2 y$ .

$0.1\overline{6} (y^{2} - 4 y + 4) + 4.5$

Étape 1.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$0.1\overline{6} y^{2} + 0.1\overline{6} (- 4 y) + 0.1\overline{6} \cdot 4 + 4.5$

Étape 1.2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.2.1.1.5.1

Multipliez $- 4$ par $0.1\overline{6}$ .

$0.1\overline{6} y^{2} - 0.\overline{6} y + 0.1\overline{6} \cdot 4 + 4.5$

Étape 1.2.1.1.5.2

Multipliez $0.1\overline{6}$ par $4$ .

$0.1\overline{6} y^{2} - 0.\overline{6} y + 0.\overline{6} + 4.5$

Étape 1.2.1.2

Additionnez $0.\overline{6}$ et $4.5$ .

$0.1\overline{6} y^{2} - 0.\overline{6} y + 5.1\overline{6}$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 0.1\overline{6}$

$b = - 0.\overline{6}$

$c = 5.1\overline{6}$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 0.\overline{6}}{2 \cdot 0.1\overline{6}}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Multipliez $2$ par $0.1\overline{6}$ .

$d = \frac{- 0.\overline{6}}{0.\overline{3}}$

Étape 1.2.4.2.2

Divisez $- 0.\overline{6}$ par $0.\overline{3}$ .

$d = - 2$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5.1\overline{6} - \frac{{(- 0.\overline{6})}^{2}}{4 \cdot 0.1\overline{6}}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Élevez $- 0.\overline{6}$ à la puissance $2$ .

$e = 5.1\overline{6} - \frac{0.\overline{4}}{4 \cdot 0.1\overline{6}}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $0.1\overline{6}$ .

$e = 5.1\overline{6} - \frac{0.\overline{4}}{0.\overline{6}}$

Étape 1.2.5.2.1.3

Divisez $0.\overline{4}$ par $0.\overline{6}$ .

$e = 5.1\overline{6} - 1 \cdot 0.66666666$

Étape 1.2.5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $0.66666666$ .

$e = 5.1\overline{6} - 0.66666666$

Étape 1.2.5.2.2

Soustrayez $0.66666666$ de $5.1\overline{6}$ .

$e = 4.5$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $0.1\overline{6} {(y - 2)}^{2} + 4.5$ .

$0.1\overline{6} {(y - 2)}^{2} + 4.5$

Étape 1.3

Définissez $x$ égal au nouveau côté droit.

$x = 0.1\overline{6} {(y - 2)}^{2} + 4.5$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = 0.1\overline{6}$

$h = 4.5$

$k = 2$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est positive, la parabole ouvre vers la droite.

ouvre vers la droite

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(4.5, 2)$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot 0.1\overline{6}}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Multipliez $4$ par $0.1\overline{6}$ .

$\frac{1}{0.\overline{6}}$

Étape 5.3.2

Divisez $1$ par $0.\overline{6}$ .

$1.4\overline{9}$

Étape 6

Déterminez le foyer.

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Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée x $h$ si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$(h + p, k)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(6, 2)$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$y = 2$

Étape 8

Déterminez la directrice.

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Étape 8.1

La directrice d’une parabole est la droite verticale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée x $h$ du sommet si la parabole ouvre vers la gauche ou vers la droite.

$x = h - p$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $h$ dans la formule et simplifiez.

$x = 3$

Étape 9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers la droite

Sommet : $(4.5, 2)$

Foyer : $(6, 2)$

Axe de symétrie : $y = 2$

Directrice : $x = 3$

Étape 10