Pré-calcul Exemples

$y + 9 = - \frac{2}{47} \cdot {(x + 6)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation en forme de sommet.

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Étape 1.1

Isolez $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1

Simplifiez $- \frac{2}{47} {(x + 6)}^{2}$ .

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez.

$y + 9 = 0 + 0 - \frac{2}{47} {(x + 6)}^{2}$

Étape 1.1.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 9 = - \frac{2}{47} {(x + 6)}^{2}$

Étape 1.1.1.3

Associez ${(x + 6)}^{2}$ et $\frac{2}{47}$ .

$y + 9 = - \frac{{(x + 6)}^{2} \cdot 2}{47}$

Étape 1.1.1.4

Déplacez $2$ à gauche de ${(x + 6)}^{2}$ .

$y + 9 = - \frac{2 {(x + 6)}^{2}}{47}$

Étape 1.1.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{2 {(x + 6)}^{2}}{47} - 9$

Étape 1.1.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - \frac{2}{47} \cdot {(x + 6)}^{2} - 9$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $- \frac{2}{47} \cdot {(x + 6)}^{2} - 9$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.1

Réécrivez ${(x + 6)}^{2}$ comme $(x + 6) (x + 6)$ .

$- \frac{2}{47} \cdot ((x + 6) (x + 6)) - 9$

Étape 1.2.1.1.2

Développez $(x + 6) (x + 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2}{47} \cdot (x (x + 6) + 6 (x + 6)) - 9$

Étape 1.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2}{47} \cdot (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 (x + 6)) - 9$

Étape 1.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2}{47} \cdot (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6) - 9$

Étape 1.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- \frac{2}{47} \cdot (x^{2} + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6) - 9$

Étape 1.2.1.1.3.1.2

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$- \frac{2}{47} \cdot (x^{2} + 6 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 6) - 9$

Étape 1.2.1.1.3.1.3

Multipliez $6$ par $6$ .

$- \frac{2}{47} \cdot (x^{2} + 6 x + 6 x + 36) - 9$

Étape 1.2.1.1.3.2

Additionnez $6 x$ et $6 x$ .

$- \frac{2}{47} \cdot (x^{2} + 12 x + 36) - 9$

Étape 1.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{2}{47} x^{2} - \frac{2}{47} (12 x) - \frac{2}{47} \cdot 36 - 9$

Étape 1.2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.2.1.1.5.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{2}{47}$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 2}{47} - \frac{2}{47} (12 x) - \frac{2}{47} \cdot 36 - 9$

Étape 1.2.1.1.5.2

Multipliez $- \frac{2}{47} (12 x)$ .

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Étape 1.2.1.1.5.2.1

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 2}{47} - 12 (\frac{2}{47}) x - \frac{2}{47} \cdot 36 - 9$

Étape 1.2.1.1.5.2.2

Associez $- 12$ et $\frac{2}{47}$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 2}{47} + \frac{- 12 \cdot 2}{47} x - \frac{2}{47} \cdot 36 - 9$

Étape 1.2.1.1.5.2.3

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 2}{47} + \frac{- 24}{47} x - \frac{2}{47} \cdot 36 - 9$

Étape 1.2.1.1.5.2.4

Associez $\frac{- 24}{47}$ et $x$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 2}{47} + \frac{- 24 x}{47} - \frac{2}{47} \cdot 36 - 9$

Étape 1.2.1.1.5.3

Multipliez $- \frac{2}{47} \cdot 36$ .

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Étape 1.2.1.1.5.3.1

Multipliez $36$ par $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 2}{47} + \frac{- 24 x}{47} - 36 (\frac{2}{47}) - 9$

Étape 1.2.1.1.5.3.2

Associez $- 36$ et $\frac{2}{47}$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 2}{47} + \frac{- 24 x}{47} + \frac{- 36 \cdot 2}{47} - 9$

Étape 1.2.1.1.5.3.3

Multipliez $- 36$ par $2$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 2}{47} + \frac{- 24 x}{47} + \frac{- 72}{47} - 9$

Étape 1.2.1.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1.6.1

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$- \frac{2 \cdot x^{2}}{47} + \frac{- 24 x}{47} + \frac{- 72}{47} - 9$

Étape 1.2.1.1.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x^{2}}{47} - \frac{24 x}{47} + \frac{- 72}{47} - 9$

Étape 1.2.1.1.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x^{2}}{47} - \frac{24 x}{47} - \frac{72}{47} - 9$

Étape 1.2.1.2

Pour écrire $- 9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{47}{47}$ .

$- \frac{2 x^{2}}{47} - \frac{24 x}{47} - \frac{72}{47} - 9 \cdot \frac{47}{47}$

Étape 1.2.1.3

Associez $- 9$ et $\frac{47}{47}$ .

$- \frac{2 x^{2}}{47} - \frac{24 x}{47} - \frac{72}{47} + \frac{- 9 \cdot 47}{47}$

Étape 1.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{2 x^{2}}{47} - \frac{24 x}{47} + \frac{- 72 - 9 \cdot 47}{47}$

Étape 1.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1.5.1

Multipliez $- 9$ par $47$ .

$- \frac{2 x^{2}}{47} - \frac{24 x}{47} + \frac{- 72 - 423}{47}$

Étape 1.2.1.5.2

Soustrayez $423$ de $- 72$ .

$- \frac{2 x^{2}}{47} - \frac{24 x}{47} + \frac{- 495}{47}$

Étape 1.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x^{2}}{47} - \frac{24 x}{47} - \frac{495}{47}$

Étape 1.2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - \frac{2}{47}$

$b = - \frac{24}{47}$

$c = - \frac{495}{47}$

Étape 1.2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{24}{47}}{2 (- \frac{2}{47})}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$d = \frac{\frac{24}{47}}{2 (\frac{2}{47})}$

Étape 1.2.4.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = \frac{24}{47} \cdot \frac{1}{2 (\frac{2}{47})}$

Étape 1.2.4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$d = \frac{2 (12)}{47} \cdot \frac{1}{2 (\frac{2}{47})}$

Étape 1.2.4.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 12}{47} \cdot \frac{1}{2 (\frac{2}{47})}$

Étape 1.2.4.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{12}{47} \cdot \frac{1}{\frac{2}{47}}$

Étape 1.2.4.2.4

Multipliez $\frac{12}{47}$ par $\frac{1}{\frac{2}{47}}$ .

$d = \frac{12}{47 (\frac{2}{47})}$

Étape 1.2.4.2.5

Associez $47$ et $\frac{2}{47}$ .

$d = \frac{12}{\frac{47 \cdot 2}{47}}$

Étape 1.2.4.2.6

Multipliez $47$ par $2$ .

$d = \frac{12}{\frac{94}{47}}$

Étape 1.2.4.2.7

Annulez le facteur commun à $94$ et $47$ .

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Étape 1.2.4.2.7.1

Factorisez $47$ à partir de $94$ .

$d = \frac{12}{\frac{47 \cdot 2}{47}}$

Étape 1.2.4.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.7.2.1

Factorisez $47$ à partir de $47$ .

$d = \frac{12}{\frac{47 \cdot 2}{47 (1)}}$

Étape 1.2.4.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{12}{\frac{47 \cdot 2}{47 \cdot 1}}$

Étape 1.2.4.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{12}{\frac{2}{1}}$

Étape 1.2.4.2.7.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$d = \frac{12}{2}$

Étape 1.2.4.2.8

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 1.2.4.2.8.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2}$

Étape 1.2.4.2.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (1)}$

Étape 1.2.4.2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{6}{1}$

Étape 1.2.4.2.8.2.4

Divisez $6$ par $1$ .

$d = 6$

Étape 1.2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{495}{47} - \frac{{(- \frac{24}{47})}^{2}}{4 (- \frac{2}{47})}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{24}{47}$ .

$e = - \frac{495}{47} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{24}{47})}^{2}}{4 (- \frac{2}{47})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{495}{47} - \frac{1 {(\frac{24}{47})}^{2}}{4 (- \frac{2}{47})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{24}{47}$ .

$e = - \frac{495}{47} - \frac{1 \frac{24^{2}}{47^{2}}}{4 (- \frac{2}{47})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.4

Élevez $24$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{495}{47} - \frac{1 \frac{576}{47^{2}}}{4 (- \frac{2}{47})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.5

Élevez $47$ à la puissance $2$ .

$e = - \frac{495}{47} - \frac{1 (\frac{576}{2209})}{4 (- \frac{2}{47})}$

Étape 1.2.5.2.1.1.6

Multipliez $\frac{576}{2209}$ par $1$ .

$e = - \frac{495}{47} - \frac{\frac{576}{2209}}{4 (- \frac{2}{47})}$

Étape 1.2.5.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.5.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = - \frac{495}{47} - \frac{\frac{576}{2209}}{- 4 (\frac{2}{47})}$

Étape 1.2.5.2.1.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{2}{47}$ .

$e = - \frac{495}{47} - \frac{\frac{576}{2209}}{\frac{- 4 \cdot 2}{47}}$

Étape 1.2.5.2.1.3

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$e = - \frac{495}{47} - \frac{\frac{576}{2209}}{\frac{- 8}{47}}$

Étape 1.2.5.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{495}{47} - \frac{\frac{576}{2209}}{- \frac{8}{47}}$

Étape 1.2.5.2.1.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = - \frac{495}{47} - (\frac{576}{2209} (- \frac{47}{8}))$

Étape 1.2.5.2.1.6

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 1.2.5.2.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{47}{8}$ dans le numérateur.

$e = - \frac{495}{47} - (\frac{576}{2209} \cdot \frac{- 47}{8})$

Étape 1.2.5.2.1.6.2

Factorisez $8$ à partir de $576$ .

$e = - \frac{495}{47} - (\frac{8 (72)}{2209} \cdot \frac{- 47}{8})$

Étape 1.2.5.2.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{495}{47} - (\frac{8 \cdot 72}{2209} \cdot \frac{- 47}{8})$

Étape 1.2.5.2.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{495}{47} - (\frac{72}{2209} \cdot - 47)$

Étape 1.2.5.2.1.7

Annulez le facteur commun de $47$ .

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Étape 1.2.5.2.1.7.1

Factorisez $47$ à partir de $2209$ .

$e = - \frac{495}{47} - (\frac{72}{47 (47)} \cdot - 47)$

Étape 1.2.5.2.1.7.2

Factorisez $47$ à partir de $- 47$ .

$e = - \frac{495}{47} - (\frac{72}{47 \cdot 47} \cdot (47 \cdot - 1))$

Étape 1.2.5.2.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$e = - \frac{495}{47} - (\frac{72}{47 \cdot 47} \cdot (47 \cdot - 1))$

Étape 1.2.5.2.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$e = - \frac{495}{47} - (\frac{72}{47} \cdot - 1)$

Étape 1.2.5.2.1.8

Associez $\frac{72}{47}$ et $- 1$ .

$e = - \frac{495}{47} - \frac{72 \cdot - 1}{47}$

Étape 1.2.5.2.1.9

Multipliez $72$ par $- 1$ .

$e = - \frac{495}{47} - \frac{- 72}{47}$

Étape 1.2.5.2.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$e = - \frac{495}{47} - - \frac{72}{47}$

Étape 1.2.5.2.1.11

Multipliez $- - \frac{72}{47}$ .

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Étape 1.2.5.2.1.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e = - \frac{495}{47} + 1 (\frac{72}{47})$

Étape 1.2.5.2.1.11.2

Multipliez $\frac{72}{47}$ par $1$ .

$e = - \frac{495}{47} + \frac{72}{47}$

Étape 1.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e = \frac{- 495 + 72}{47}$

Étape 1.2.5.2.3

Additionnez $- 495$ et $72$ .

$e = \frac{- 423}{47}$

Étape 1.2.5.2.4

Divisez $- 423$ par $47$ .

$e = - 9$

Étape 1.2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- \frac{2}{47} {(x + 6)}^{2} - 9$ .

$- \frac{2}{47} {(x + 6)}^{2} - 9$

Étape 1.3

Définissez $y$ égal au nouveau côté droit.

$y = - \frac{2}{47} \cdot {(x + 6)}^{2} - 9$

Étape 2

Utilisez la forme du sommet, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , pour déterminer les valeurs de $a$ , $h$ et $k$ .

$a = - \frac{2}{47}$

$h = - 6$

$k = - 9$

Étape 3

Comme la valeur de $a$ est négative, la parabole ouvre vers le bas.

ouvre vers le bas

Étape 4

Déterminez le sommet $(h, k)$ .

$(- 6, - 9)$

Étape 5

Déterminez $p$ , la distance du sommet au foyer.

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Étape 5.1

Déterminez la distance du sommet à un foyer de la parabole en utilisant la formule suivante.

$\frac{1}{4 a}$

Étape 5.2

Remplacez la valeur de $a$ dans la fonction.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{2}{47})}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 5.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{2}{47})}$

Étape 5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4 (\frac{2}{47})}$

Étape 5.3.2

Associez $4$ et $\frac{2}{47}$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 2}{47}}$

Étape 5.3.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{1}{\frac{8}{47}}$

Étape 5.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (1 (\frac{47}{8}))$

Étape 5.3.5

Multipliez $\frac{47}{8}$ par $1$ .

$- \frac{47}{8}$

Étape 6

Déterminez le foyer.

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Étape 6.1

Le foyer d’une parabole peut être trouvé en ajoutant $p$ à la coordonnée y $k$ si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$(h, k + p)$

Étape 6.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 6, - \frac{119}{8})$

Étape 7

Déterminez l’axe de symétrie en trouvant la droite qui passe par le sommet et le foyer.

$x = - 6$

Étape 8

Déterminez la directrice.

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Étape 8.1

La directrice d’une parabole est la droite horizontale déterminée en soustrayant $p$ de la coordonnée y $k$ du sommet si la parabole ouvre vers le haut ou vers le bas.

$y = k - p$

Étape 8.2

Remplacez les valeurs connues de $p$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$y = - \frac{25}{8}$

Étape 9

Utilisez les propriétés de la parabole pour analyser la parabole et la représenter sous forme graphique.

Direction : ouvre vers le bas

Sommet : $(- 6, - 9)$

Foyer : $(- 6, - \frac{119}{8})$

Axe de symétrie : $x = - 6$

Directrice : $y = - \frac{25}{8}$

Étape 10