Pré-calcul Exemples

$\frac{2}{3} \cdot \ln (8) + \ln (x) + \ln (x^{2} - 4) - \ln (x - 2)$

Étape 1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{2}{3} \cdot \ln (8) + \ln (x (x^{2} - 4)) - \ln (x - 2)$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2}{3} \cdot \ln (8) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez $\frac{2}{3} \ln (8)$ en déplaçant $\frac{2}{3}$ dans le logarithme.

$\ln (8^{\frac{2}{3}}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Étape 3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\ln ({(2^{3})}^{\frac{2}{3}}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Étape 3.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (2^{3 (\frac{2}{3})}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (2^{3 (\frac{2}{3})}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Étape 3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (2^{2}) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Étape 3.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x^{2} - 4)}{x - 2})$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x^{2} - 2^{2})}{x - 2})$

Étape 3.6.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x + 2) (x - 2)}{x - 2})$

Étape 3.7

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (4) + \ln (\frac{x (x + 2) (x - 2)}{x - 2})$

Étape 3.7.2

Divisez $x (x + 2)$ par $1$ .

$\ln (4) + \ln (x (x + 2))$

Étape 3.8

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (4) + \ln (x \cdot x + x \cdot 2)$

Étape 3.9

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (4) + \ln (x^{2} + x \cdot 2)$

Étape 3.10

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\ln (4) + \ln (x^{2} + 2 x)$

Étape 4

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (4 (x^{2} + 2 x))$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (4 x^{2} + 4 (2 x))$

Étape 6

Multipliez $2$ par $4$ .

$\ln (4 x^{2} + 8 x)$