Pré-calcul Exemples

$\frac{3}{2} \cdot \ln ({(16 x)}^{10}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez la règle de produit à $16 x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \ln (16^{10} x^{10}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Étape 1.2

Élevez $16$ à la puissance $10$ .

$\frac{3}{2} \cdot \ln (1099511627776 x^{10}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Étape 1.3

Simplifiez $\frac{3}{2} \ln (1099511627776 x^{10})$ en déplaçant $\frac{3}{2}$ dans le logarithme.

$\ln ({(1099511627776 x^{10})}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Étape 1.4

Appliquez la règle de produit à $1099511627776 x^{10}$ .

$\ln (1099511627776^{\frac{3}{2}} {(x^{10})}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Étape 1.5

Réécrivez $1099511627776$ comme $1048576^{2}$ .

$\ln ({(1048576^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{10})}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Étape 1.6

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (1048576^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{10})}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Étape 1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.7.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (1048576^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{10})}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Étape 1.7.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (1048576^{3} {(x^{10})}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Étape 1.8

Élevez $1048576$ à la puissance $3$ .

$\ln (1152921504606850000 {(x^{10})}^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Étape 1.9

Multipliez les exposants dans ${(x^{10})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 1.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{10 (\frac{3}{2})}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Étape 1.9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{2 (5) \frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Étape 1.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (1152921504606850000 x^{2 \cdot 5 \frac{3}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Étape 1.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (1152921504606850000 x^{5 \cdot 3}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Étape 1.9.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \frac{2}{5} \cdot \ln ({(2 y)}^{30})$

Étape 1.10

Appliquez la règle de produit à $2 y$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \frac{2}{5} \cdot \ln (2^{30} y^{30})$

Étape 1.11

Élevez $2$ à la puissance $30$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \frac{2}{5} \cdot \ln (1073741824 y^{30})$

Étape 1.12

Multipliez $- \frac{2}{5} \ln (1073741824 y^{30})$ .

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Étape 1.12.1

Remettez dans l’ordre $\ln (1073741824 y^{30})$ et $\frac{2}{5}$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - (\frac{2}{5} \ln (1073741824 y^{30}))$

Étape 1.12.2

Simplifiez $\frac{2}{5} \ln (1073741824 y^{30})$ en déplaçant $\frac{2}{5}$ dans le logarithme.

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln ({(1073741824 y^{30})}^{\frac{2}{5}})$

Étape 1.13

Appliquez la règle de produit à $1073741824 y^{30}$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (1073741824^{\frac{2}{5}} {(y^{30})}^{\frac{2}{5}})$

Étape 1.14

Réécrivez $1073741824$ comme $64^{5}$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln ({(64^{5})}^{\frac{2}{5}} {(y^{30})}^{\frac{2}{5}})$

Étape 1.15

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (64^{5 (\frac{2}{5})} {(y^{30})}^{\frac{2}{5}})$

Étape 1.16

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.16.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (64^{5 (\frac{2}{5})} {(y^{30})}^{\frac{2}{5}})$

Étape 1.16.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (64^{2} {(y^{30})}^{\frac{2}{5}})$

Étape 1.17

Élevez $64$ à la puissance $2$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (4096 {(y^{30})}^{\frac{2}{5}})$

Étape 1.18

Multipliez les exposants dans ${(y^{30})}^{\frac{2}{5}}$ .

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Étape 1.18.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (4096 y^{30 (\frac{2}{5})})$

Étape 1.18.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.18.2.1

Factorisez $5$ à partir de $30$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (4096 y^{5 (6) \frac{2}{5}})$

Étape 1.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (4096 y^{5 \cdot 6 \frac{2}{5}})$

Étape 1.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (4096 y^{6 \cdot 2})$

Étape 1.18.3

Multipliez $6$ par $2$ .

$\ln (1152921504606850000 x^{15}) - \ln (4096 y^{12})$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{1152921504606850000 x^{15}}{4096 y^{12}})$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $1152921504606850000$ et $4096$ .

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Étape 3.1

Factorisez $16$ à partir de $1152921504606850000 x^{15}$ .

$\ln (\frac{16 (72057594037928125 x^{15})}{4096 y^{12}})$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Factorisez $16$ à partir de $4096 y^{12}$ .

$\ln (\frac{16 (72057594037928125 x^{15})}{16 (256 y^{12})})$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{16 (72057594037928125 x^{15})}{16 (256 y^{12})})$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{72057594037928125 x^{15}}{256 y^{12}})$