Pré-calcul Exemples

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 2 x + 6 y + \frac{10}{3} = 48$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas de variable du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{10}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 2 x + 6 y = 48 - \frac{10}{3}$

Étape 1.2

Pour écrire $48$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 2 x + 6 y = 48 \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3}$

Étape 1.3

Associez $48$ et $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 2 x + 6 y = \frac{48 \cdot 3}{3} - \frac{10}{3}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 2 x + 6 y = \frac{48 \cdot 3 - 10}{3}$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Multipliez $48$ par $3$ .

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 2 x + 6 y = \frac{144 - 10}{3}$

Étape 1.5.2

Soustrayez $10$ de $144$ .

$2 x^{2} + 2 y^{2} - 2 x + 6 y = \frac{134}{3}$

Étape 2

Divisez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$x^{2} + y^{2} - x + 3 y = \frac{67}{3}$

Étape 3

Complétez le carré pour $x^{2} - x$ .

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Étape 3.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

Étape 3.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun à $- 1$ et $1$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{1}{2}$

Étape 3.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $\frac{1}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Étape 4

Remplacez $x^{2} - x$ par ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - x + 3 y = \frac{67}{3}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} + 3 y = \frac{67}{3}$

Étape 5

Déplacez $- \frac{1}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{1}{4}$ des deux côtés.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} + 3 y = \frac{67}{3} + \frac{1}{4}$

Étape 6

Complétez le carré pour $y^{2} + 3 y$ .

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Étape 6.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = 3$

$c = 0$

Étape 6.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 6.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$d = \frac{3}{2}$

Étape 6.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{3^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{9}{4}$

Étape 6.4.2.2

Soustrayez $\frac{9}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{9}{4}$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ .

${(y + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Étape 7

Remplacez $y^{2} + 3 y$ par ${(y + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - x + 3 y = \frac{67}{3}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} = \frac{67}{3} + \frac{1}{4}$

Étape 8

Déplacez $- \frac{9}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{9}{4}$ des deux côtés.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{67}{3} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 9

Simplifiez $\frac{67}{3} + \frac{1}{4} + \frac{9}{4}$ .

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Étape 9.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{67}{3} + \frac{1 + 9}{4}$

Étape 9.2

Additionnez $1$ et $9$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{67}{3} + \frac{10}{4}$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun à $10$ et $4$ .

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Étape 9.3.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{67}{3} + \frac{2 (5)}{4}$

Étape 9.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{67}{3} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Étape 9.3.2.2

Annulez le facteur commun.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{67}{3} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Étape 9.3.2.3

Réécrivez l’expression.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{67}{3} + \frac{5}{2}$

Étape 9.4

Pour écrire $\frac{67}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{67}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 9.5

Pour écrire $\frac{5}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{67}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 9.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.6.1

Multipliez $\frac{67}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{67 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 9.6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{67 \cdot 2}{6} + \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 9.6.3

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{67 \cdot 2}{6} + \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

Étape 9.6.4

Multipliez $2$ par $3$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{67 \cdot 2}{6} + \frac{5 \cdot 3}{6}$

Étape 9.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{67 \cdot 2 + 5 \cdot 3}{6}$

Étape 9.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.8.1

Multipliez $67$ par $2$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{134 + 5 \cdot 3}{6}$

Étape 9.8.2

Multipliez $5$ par $3$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{134 + 15}{6}$

Étape 9.8.3

Additionnez $134$ et $15$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{3}{2})}^{2} = \frac{149}{6}$

Étape 10

C’est la forme d’un cercle. Utilisez cette forme pour déterminer le centre et le rayon du cercle.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Étape 11

Faites correspondre les valeurs dans ce cercle avec celles de la forme normalisée. La variable $r$ représente le rayon du cercle, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$r = \frac{\sqrt{894}}{6}$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{3}{2}$

Étape 12

Le centre du cercle se trouve sur $(h, k)$ .

Centre : $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$

Étape 13

Ces valeurs représentent les valeurs importantes pour représenter graphiquement et analyser un cercle.

Centre : $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$

Rayon : $\frac{\sqrt{894}}{6}$

Étape 14