Pré-calcul Exemples

$\log_{6} (x + 4) + \log_{6} (x + 1) = 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{6} ((x + 4) (x + 1)) = 1$

Étape 1.2

Développez $(x + 4) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{6} (x (x + 1) + 4 (x + 1)) = 1$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot 1 + 4 (x + 1)) = 1$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{6} (x \cdot x + x \cdot 1 + 4 x + 4 \cdot 1) = 1$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{6} (x^{2} + x \cdot 1 + 4 x + 4 \cdot 1) = 1$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\log_{6} (x^{2} + x + 4 x + 4 \cdot 1) = 1$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$\log_{6} (x^{2} + x + 4 x + 4) = 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $x$ et $4 x$ .

$\log_{6} (x^{2} + 5 x + 4) = 1$

Étape 2

Réécrivez $\log_{6} (x^{2} + 5 x + 4) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$6^{1} = x^{2} + 5 x + 4$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} + 5 x + 4 = 6^{1}$ .

$x^{2} + 5 x + 4 = 6$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 5 x + 4 - 6 = 0$

Étape 3.2.2

Soustrayez $6$ de $4$ .

$x^{2} + 5 x - 2 = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 5$ et $c = - 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Étape 3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.3

Additionnez $25$ et $8$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Étape 3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.3

Additionnez $25$ et $8$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Étape 3.6.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 5 + \sqrt{33}}{2}$

Étape 3.6.4

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + \sqrt{33}}{2}$

Étape 3.6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{33}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \sqrt{33})}{2}$

Étape 3.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - 1 (- \sqrt{33})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - \sqrt{33})}{2}$

Étape 3.6.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Étape 3.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.3

Additionnez $25$ et $8$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Étape 3.7.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 5 - \sqrt{33}}{2}$

Étape 3.7.4

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - \sqrt{33}}{2}$

Étape 3.7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{33}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (\sqrt{33})}{2}$

Étape 3.7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (5) - (\sqrt{33})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + \sqrt{33})}{2}$

Étape 3.7.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$

Étape 3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}, - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{6} (x + 4) + \log_{6} (x + 1) = 1$ vrai.

$x = - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Forme décimale :

$x = 0.37228132 \dots$