Pré-calcul Exemples

$2 \ln (x) + \ln (\sqrt{x^{2} - 1}) - \frac{1}{2} \cdot \ln (x - 1)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (x^{2}) + \ln (\sqrt{x^{2} - 1}) - \frac{1}{2} \cdot \ln (x - 1)$

Étape 1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\ln (x^{2}) + \ln (\sqrt{x^{2} - 1^{2}}) - \frac{1}{2} \cdot \ln (x - 1)$

Étape 1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\ln (x^{2}) + \ln (\sqrt{(x + 1) (x - 1)}) - \frac{1}{2} \cdot \ln (x - 1)$

Étape 1.4

Multipliez $- \frac{1}{2} \ln (x - 1)$ .

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Étape 1.4.1

Remettez dans l’ordre $\ln (x - 1)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (x^{2}) + \ln (\sqrt{(x + 1) (x - 1)}) - (\frac{1}{2} \ln (x - 1))$

Étape 1.4.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (x - 1)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\ln (x^{2}) + \ln (\sqrt{(x + 1) (x - 1)}) - \ln ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}) - \ln ({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$