Pré-calcul Exemples

$2 \log (\frac{y^{3}}{x^{3}}) - 3 \log (y) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4} y^{2})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez $2 \log (\frac{y^{3}}{x^{3}})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log ({(\frac{y^{3}}{x^{3}})}^{2}) - 3 \log (y) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4} y^{2})$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{y^{3}}{x^{3}}$ .

$\log (\frac{{(y^{3})}^{2}}{{(x^{3})}^{2}}) - 3 \log (y) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4} y^{2})$

Étape 1.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{2}$ .

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Étape 1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{y^{3 \cdot 2}}{{(x^{3})}^{2}}) - 3 \log (y) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4} y^{2})$

Étape 1.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\log (\frac{y^{6}}{{(x^{3})}^{2}}) - 3 \log (y) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4} y^{2})$

Étape 1.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{2}$ .

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Étape 1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{y^{6}}{x^{3 \cdot 2}}) - 3 \log (y) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4} y^{2})$

Étape 1.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\log (\frac{y^{6}}{x^{6}}) - 3 \log (y) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4} y^{2})$

Étape 1.5

Simplifiez $- 3 \log (y)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\log (\frac{y^{6}}{x^{6}}) - \log (y^{3}) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4} y^{2})$

Étape 1.6

Simplifiez $\frac{1}{2} \log (x^{4} y^{2})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\log (\frac{y^{6}}{x^{6}}) - \log (y^{3}) + \log ({(x^{4} y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.7

Appliquez la règle de produit à $x^{4} y^{2}$ .

$\log (\frac{y^{6}}{x^{6}}) - \log (y^{3}) + \log ({(x^{4})}^{\frac{1}{2}} {(y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.8

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{y^{6}}{x^{6}}) - \log (y^{3}) + \log (x^{4 (\frac{1}{2})} {(y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.8.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\log (\frac{y^{6}}{x^{6}}) - \log (y^{3}) + \log (x^{2 (2) \frac{1}{2}} {(y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log (\frac{y^{6}}{x^{6}}) - \log (y^{3}) + \log (x^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}} {(y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log (\frac{y^{6}}{x^{6}}) - \log (y^{3}) + \log (x^{2} {(y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.9

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{y^{6}}{x^{6}}) - \log (y^{3}) + \log (x^{2} y^{2 (\frac{1}{2})})$

Étape 1.9.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\log (\frac{y^{6}}{x^{6}}) - \log (y^{3}) + \log (x^{2} y^{2 (\frac{1}{2})})$

Étape 1.9.2.2

Réécrivez l’expression.

$\log (\frac{y^{6}}{x^{6}}) - \log (y^{3}) + \log (x^{2} y^{1})$

Étape 1.10

Simplifiez

$\log (\frac{y^{6}}{x^{6}}) - \log (y^{3}) + \log (x^{2} y)$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{y^{6}}{x^{6}}}{y^{3}}) + \log (x^{2} y)$

Étape 3

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (\frac{\frac{y^{6}}{x^{6}}}{y^{3}} (x^{2} y))$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{3}$ .

$\log (\frac{\frac{y^{6}}{x^{6}}}{y \cdot y^{2}} (x^{2} y))$

Étape 4.2

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y$ .

$\log (\frac{\frac{y^{6}}{x^{6}}}{y \cdot y^{2}} (y x^{2}))$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun.

$\log (\frac{\frac{y^{6}}{x^{6}}}{y \cdot y^{2}} (y x^{2}))$

Étape 4.4

Réécrivez l’expression.

$\log (\frac{\frac{y^{6}}{x^{6}}}{y^{2}} x^{2})$

Étape 5

Associez $\frac{\frac{y^{6}}{x^{6}}}{y^{2}}$ et $x^{2}$ .

$\log (\frac{\frac{y^{6}}{x^{6}} x^{2}}{y^{2}})$

Étape 6

Associez $\frac{y^{6}}{x^{6}}$ et $x^{2}$ .

$\log (\frac{\frac{y^{6} x^{2}}{x^{6}}}{y^{2}})$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{6}$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $y^{6} x^{2}$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2} y^{6}}{x^{6}}}{y^{2}})$

Étape 7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{6}$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2} y^{6}}{x^{2} x^{4}}}{y^{2}})$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log (\frac{\frac{x^{2} y^{6}}{x^{2} x^{4}}}{y^{2}})$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log (\frac{\frac{y^{6}}{x^{4}}}{y^{2}})$

Étape 8

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\log (\frac{y^{6}}{x^{4}} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Étape 9

Associez.

$\log (\frac{y^{6} \cdot 1}{x^{4} y^{2}})$

Étape 10

Annulez le facteur commun à $y^{6}$ et $y^{2}$ .

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Étape 10.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{6} \cdot 1$ .

$\log (\frac{y^{2} (y^{4} \cdot 1)}{x^{4} y^{2}})$

Étape 10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x^{4} y^{2}$ .

$\log (\frac{y^{2} (y^{4} \cdot 1)}{y^{2} x^{4}})$

Étape 10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log (\frac{y^{2} (y^{4} \cdot 1)}{y^{2} x^{4}})$

Étape 10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log (\frac{y^{4} \cdot 1}{x^{4}})$

Étape 11

Multipliez $y^{4}$ par $1$ .

$\log (\frac{y^{4}}{x^{4}})$