Pré-calcul Exemples

$3 \ln (\sqrt{x}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez $3 \ln (\sqrt{x})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\ln ({\sqrt{x}}^{3}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x)$

Étape 1.2

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{3}$ comme $\sqrt{x^{3}}$ .

$\ln (\sqrt{x^{3}}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x)$

Étape 1.3

Factorisez $x^{2}$ .

$\ln (\sqrt{x^{2} x}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x)$

Étape 1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\ln (x \sqrt{x}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x)$

Étape 1.5

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (x)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\ln (x \sqrt{x}) + \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Étape 2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x \sqrt{x} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

Multipliez $x$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}} x \sqrt{x})$

Étape 3.2

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}} x^{1} \sqrt{x})$

Étape 3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (x^{\frac{1}{2} + 1} \sqrt{x})$

Étape 3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\ln (x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \sqrt{x})$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (x^{\frac{1 + 2}{2}} \sqrt{x})$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\ln (x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x})$

Étape 4

Multipliez $x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x}$ .

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Étape 4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (x^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}})$

Étape 4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (x^{\frac{3 + 1}{2}})$

Étape 4.4

Additionnez $3$ et $1$ .

$\ln (x^{\frac{4}{2}})$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\ln (x^{\frac{2 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\ln (x^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}})$

Étape 4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (x^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}})$

Étape 4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (x^{\frac{2}{1}})$

Étape 4.5.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\ln (x^{2})$