Pré-calcul Exemples

$2 \log_{2} (x) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2) (27 x - 27)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez $2 \log_{2} (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2) (27 x - 27)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2) (27 x) + \log (2) \cdot - 27) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Étape 1.3

Simplifiez $27 \log (2)$ en déplaçant $27$ dans le logarithme.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2^{27}) x + \log (2) \cdot - 27) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Étape 1.4

Multipliez $\log (2) \cdot - 27$ .

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Étape 1.4.1

Remettez dans l’ordre $\log (2)$ et $- 27$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2^{27}) x - 27 \cdot \log (2)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Étape 1.4.2

Simplifiez $- 27 \cdot \log (2)$ en déplaçant $27$ dans le logarithme.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (2^{27}) x - \log (2^{27})) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Étape 1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1

Élevez $2$ à la puissance $27$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (134217728) x - \log (2^{27})) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Étape 1.5.2

Élevez $2$ à la puissance $27$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \cdot (\log (134217728) x - \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Étape 1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} (\log (134217728) x) + \frac{1}{3} (- \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Étape 1.7

Multipliez $\frac{1}{3} (\log (134217728) x)$ .

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Étape 1.7.1

Remettez dans l’ordre $\log (134217728)$ et $\frac{1}{3}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \frac{1}{3} \log (134217728) x + \frac{1}{3} (- \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Étape 1.7.2

Simplifiez $\frac{1}{3} \log (134217728)$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ dans le logarithme.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (134217728^{\frac{1}{3}}) x + \frac{1}{3} (- \log (134217728)) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Étape 1.8

Simplifiez $\frac{1}{3} \log (134217728)$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ dans le logarithme.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (134217728^{\frac{1}{3}}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Étape 1.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.1

Réécrivez $134217728$ comme $512^{3}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log ({(512^{3})}^{\frac{1}{3}}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Étape 1.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Étape 1.9.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.9.3.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Étape 1.9.3.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512^{1}) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Étape 1.9.4

Évaluez l’exposant.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (134217728^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Étape 1.9.5

Réécrivez $134217728$ comme $512^{3}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log ({(512^{3})}^{\frac{1}{3}}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Étape 1.9.6

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Étape 1.9.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.9.7.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512^{3 (\frac{1}{3})}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Étape 1.9.7.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512^{1}) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Étape 1.9.8

Évaluez l’exposant.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512) - 2 \log_{2} (x^{3} - x)$

Étape 1.10

Simplifiez $- 2 \log_{2} (x^{3} - x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{2} (x^{2}) + \log (512) x - \log (512) - \log_{2} ({(x^{3} - x)}^{2})$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x^{3} - x)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - x$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x^{2} - x)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Étape 3.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Étape 3.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x^{2} - 1))}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Étape 3.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x^{2} - 1^{2}))}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Étape 3.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x + 1) (x - 1))}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Étape 3.1.4

Appliquez la règle de produit à $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x + 1))}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Étape 3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x \cdot 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Étape 3.1.6

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + x \cdot 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Étape 3.1.7

Multipliez $x$ par $1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + x)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Étape 3.1.8

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + x$ .

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Étape 3.1.8.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Étape 3.1.8.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x^{1})}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Étape 3.1.8.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x \cdot x + x \cdot 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Étape 3.1.8.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{{(x (x + 1))}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Étape 3.1.9

Appliquez la règle de produit à $x (x + 1)$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{x^{2} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{2} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$

Étape 4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\log_{2} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + \log (512) x - \log (512)$ .

$\log_{2} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}) + x \log (512) - \log (512)$