Pré-calcul Exemples

$2 \log_{7} (x^{4}) - 6 \log_{7} (\sqrt[3]{x^{2}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez $2 \log_{7} (x^{4})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log_{7} ({(x^{4})}^{2}) - 6 \log_{7} (\sqrt[3]{x^{2}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{7} (x^{4 \cdot 2}) - 6 \log_{7} (\sqrt[3]{x^{2}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Étape 1.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\log_{7} (x^{8}) - 6 \log_{7} (\sqrt[3]{x^{2}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Étape 1.3

Simplifiez $- 6 \log_{7} (\sqrt[3]{x^{2}})$ en déplaçant $6$ dans le logarithme.

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} ({\sqrt[3]{x^{2}}}^{6}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Étape 1.4

Réécrivez ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{6}$ comme $x^{4}$ .

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Étape 1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{6}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Étape 1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{\frac{2}{3} \cdot 6}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Étape 1.4.3

Associez $\frac{2}{3}$ et $6$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{\frac{2 \cdot 6}{3}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Étape 1.4.4

Multipliez $2$ par $6$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{\frac{12}{3}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Étape 1.4.5

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 1.4.5.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{\frac{3 \cdot 4}{3}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Étape 1.4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{\frac{3 \cdot 4}{3 (1)}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Étape 1.4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Étape 1.4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{\frac{4}{1}}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Étape 1.4.5.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{4}) + 3 \log_{7} (4 x) + \log_{7} (2)$

Étape 1.5

Simplifiez $3 \log_{7} (4 x)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{4}) + \log_{7} ({(4 x)}^{3}) + \log_{7} (2)$

Étape 1.6

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{4}) + \log_{7} (4^{3} x^{3}) + \log_{7} (2)$

Étape 1.7

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\log_{7} (x^{8}) - \log_{7} (x^{4}) + \log_{7} (64 x^{3}) + \log_{7} (2)$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{7} (\frac{x^{8}}{x^{4}}) + \log_{7} (64 x^{3}) + \log_{7} (2)$

Étape 3

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} (\frac{x^{8}}{x^{4}} (64 x^{3})) + \log_{7} (2)$

Étape 4

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} (\frac{x^{8}}{x^{4}} (64 x^{3}) \cdot 2)$

Étape 5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\log_{7} (64 \frac{x^{8}}{x^{4}} x^{3} \cdot 2)$

Étape 6

Annulez le facteur commun à $x^{8}$ et $x^{4}$ .

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Étape 6.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{8}$ .

$\log_{7} (64 \frac{x^{4} x^{4}}{x^{4}} x^{3} \cdot 2)$

Étape 6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1

Multipliez par $1$ .

$\log_{7} (64 \frac{x^{4} x^{4}}{x^{4} \cdot 1} x^{3} \cdot 2)$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log_{7} (64 \frac{x^{4} x^{4}}{x^{4} \cdot 1} x^{3} \cdot 2)$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log_{7} (64 \frac{x^{4}}{1} x^{3} \cdot 2)$

Étape 6.2.4

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$\log_{7} (64 x^{4} x^{3} \cdot 2)$

Étape 7

Multipliez $x^{4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\log_{7} (64 (x^{3} x^{4}) \cdot 2)$

Étape 7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{7} (64 x^{3 + 4} \cdot 2)$

Étape 7.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$\log_{7} (64 x^{7} \cdot 2)$

Étape 8

Multipliez $2$ par $64$ .

$\log_{7} (128 x^{7})$