Pré-calcul Exemples

$4 (\ln (z) + \ln (z + 5) - 2 \ln (z - 5))$

Étape 1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$4 (\ln (z (z + 5)) - 2 \ln (z - 5))$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (\ln (z \cdot z + z \cdot 5) - 2 \ln (z - 5))$

Étape 2.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$4 (\ln (z^{2} + z \cdot 5) - 2 \ln (z - 5))$

Étape 2.3

Déplacez $5$ à gauche de $z$ .

$4 (\ln (z^{2} + 5 \cdot z) - 2 \ln (z - 5))$

Étape 2.4

Simplifiez $- 2 \ln (z - 5)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$4 (\ln (z^{2} + 5 z) - \ln ({(z - 5)}^{2}))$

Étape 3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \ln (\frac{z^{2} + 5 z}{{(z - 5)}^{2}})$

Étape 4

Factorisez $z$ à partir de $z^{2} + 5 z$ .

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Étape 4.1

Factorisez $z$ à partir de $z^{2}$ .

$4 \ln (\frac{z \cdot z + 5 z}{{(z - 5)}^{2}})$

Étape 4.2

Factorisez $z$ à partir de $5 z$ .

$4 \ln (\frac{z \cdot z + z \cdot 5}{{(z - 5)}^{2}})$

Étape 4.3

Factorisez $z$ à partir de $z \cdot z + z \cdot 5$ .

$4 \ln (\frac{z (z + 5)}{{(z - 5)}^{2}})$

Étape 5

Simplifiez $4 \ln (\frac{z (z + 5)}{{(z - 5)}^{2}})$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\ln ({(\frac{z (z + 5)}{{(z - 5)}^{2}})}^{4})$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{z (z + 5)}{{(z - 5)}^{2}}$ .

$\ln (\frac{{(z (z + 5))}^{4}}{{({(z - 5)}^{2})}^{4}})$

Étape 6.2

Appliquez la règle de produit à $z (z + 5)$ .

$\ln (\frac{z^{4} {(z + 5)}^{4}}{{({(z - 5)}^{2})}^{4}})$

Étape 7

Multipliez les exposants dans ${({(z - 5)}^{2})}^{4}$ .

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Étape 7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{z^{4} {(z + 5)}^{4}}{{(z - 5)}^{2 \cdot 4}})$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\ln (\frac{z^{4} {(z + 5)}^{4}}{{(z - 5)}^{8}})$