Pré-calcul Exemples

$\log (x^{3} y^{2}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y}) - \log (\frac{x}{y})$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{3} y^{2}}{\frac{x}{y}}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\log (x^{3} y^{2} \frac{y}{x}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} y^{2}$ .

$\log (x (x^{2} y^{2}) \frac{y}{x}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log (x (x^{2} y^{2}) \frac{y}{x}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log (x^{2} y^{2} y) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Étape 2.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\log (x^{2} (y^{1} y^{2})) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log (x^{2} y^{1 + 2}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\log (x^{2} y^{3}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y})$

Étape 2.6

Simplifiez $- 2 \log (x \sqrt[3]{y})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log (x^{2} y^{3}) - \log ({(x \sqrt[3]{y})}^{2})$

Étape 2.7

Appliquez la règle de produit à $x \sqrt[3]{y}$ .

$\log (x^{2} y^{3}) - \log (x^{2} {\sqrt[3]{y}}^{2})$

Étape 2.8

Réécrivez ${\sqrt[3]{y}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{y^{2}}$ .

$\log (x^{2} y^{3}) - \log (x^{2} \sqrt[3]{y^{2}})$

Étape 3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} y^{3}}{x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}})$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\log (\frac{x^{2} y^{3}}{x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}})$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$\log (\frac{y^{3}}{\sqrt[3]{y^{2}}})$

Étape 5

Multipliez $\frac{y^{3}}{\sqrt[3]{y^{2}}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}$ .

$\log (\frac{y^{3}}{\sqrt[3]{y^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}})$

Étape 6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{y^{3}}{\sqrt[3]{y^{2}}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}})$

Étape 6.2

Élevez $\sqrt[3]{y^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}})$

Étape 6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{1 + 2}})$

Étape 6.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}})$

Étape 6.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}$ comme $y^{2}$ .

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Étape 6.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{y^{2}}$ comme $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{(y^{\frac{2}{3}})}^{3}})$

Étape 6.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{\frac{2}{3} \cdot 3}})$

Étape 6.5.3

Associez $\frac{2}{3}$ et $3$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{\frac{2 \cdot 3}{3}}})$

Étape 6.5.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{\frac{6}{3}}})$

Étape 6.5.5

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 6.5.5.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{\frac{3 \cdot 2}{3}}})$

Étape 6.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}})$

Étape 6.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}})$

Étape 6.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{\frac{2}{1}}})$

Étape 6.5.5.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\log (\frac{y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{2}})$

Étape 7

Annulez le facteur commun à $y^{3}$ et $y^{2}$ .

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Étape 7.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{3} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}$ .

$\log (\frac{y^{2} (y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2})}{y^{2}})$

Étape 7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1

Multipliez par $1$ .

$\log (\frac{y^{2} (y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2})}{y^{2} \cdot 1})$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log (\frac{y^{2} (y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2})}{y^{2} \cdot 1})$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log (\frac{y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{1})$

Étape 7.2.4

Divisez $y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}$ par $1$ .

$\log (y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2})$

Étape 8

Réécrivez ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(y^{2})}^{2}}$ .

$\log (y \sqrt[3]{{(y^{2})}^{2}})$

Étape 9

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{2}$ .

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Étape 9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (y \sqrt[3]{y^{2 \cdot 2}})$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\log (y \sqrt[3]{y^{4}})$

Étape 10

Factorisez $y^{3}$ .

$\log (y \sqrt[3]{y^{3} y})$

Étape 11

Extrayez les termes de sous le radical.

$\log (y (y \sqrt[3]{y}))$

Étape 12

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1

Déplacez $y$ .

$\log (y \cdot y \sqrt[3]{y})$

Étape 12.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\log (y^{2} \sqrt[3]{y})$