Pré-calcul Exemples

$\log (x^{3} y^{2}) - 2 \log (x \sqrt[3]{y}) - 3 \log (\frac{y}{x})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez $- 2 \log (x \sqrt[3]{y})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\log (x^{3} y^{2}) - \log ({(x \sqrt[3]{y})}^{2}) - 3 \log (\frac{y}{x})$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $x \sqrt[3]{y}$ .

$\log (x^{3} y^{2}) - \log (x^{2} {\sqrt[3]{y}}^{2}) - 3 \log (\frac{y}{x})$

Étape 1.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{y}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{y^{2}}$ .

$\log (x^{3} y^{2}) - \log (x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}) - 3 \log (\frac{y}{x})$

Étape 1.4

Simplifiez $- 3 \log (\frac{y}{x})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\log (x^{3} y^{2}) - \log (x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}) - \log ({(\frac{y}{x})}^{3})$

Étape 1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{x}$ .

$\log (x^{3} y^{2}) - \log (x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}) - \log (\frac{y^{3}}{x^{3}})$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{3} y^{2}}{x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}}) - \log (\frac{y^{3}}{x^{3}})$

Étape 3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{x^{3} y^{2}}{x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}}}{\frac{y^{3}}{x^{3}}})$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{2}$ .

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Étape 4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} y^{2}$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2} (x y^{2})}{x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}}}{\frac{y^{3}}{x^{3}}})$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2} (x y^{2})}{x^{2} (\sqrt[3]{y^{2}})}}{\frac{y^{3}}{x^{3}}})$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log (\frac{\frac{x^{2} (x y^{2})}{x^{2} \sqrt[3]{y^{2}}}}{\frac{y^{3}}{x^{3}}})$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log (\frac{\frac{x y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}}}}{\frac{y^{3}}{x^{3}}})$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\log (\frac{x y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}}} \cdot \frac{x^{3}}{y^{3}})$

Étape 6

Associez.

$\log (\frac{x y^{2} x^{3}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

Étape 7

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\log (\frac{x^{3} x y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

Étape 7.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\log (\frac{x^{3} x^{1} y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

Étape 7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log (\frac{x^{3 + 1} y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

Étape 7.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\log (\frac{x^{4} y^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y^{3}$ .

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Étape 8.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x^{4} y^{2}$ .

$\log (\frac{y^{2} x^{4}}{\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}})$

Étape 8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $\sqrt[3]{y^{2}} y^{3}$ .

$\log (\frac{y^{2} x^{4}}{y^{2} (\sqrt[3]{y^{2}} y)})$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log (\frac{y^{2} x^{4}}{y^{2} (\sqrt[3]{y^{2}} y)})$

Étape 8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log (\frac{x^{4}}{\sqrt[3]{y^{2}} y})$

Étape 9

Multipliez $\frac{x^{4}}{\sqrt[3]{y^{2}} y}$ par $\frac{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}$ .

$\log (\frac{x^{4}}{\sqrt[3]{y^{2}} y} \cdot \frac{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}})$

Étape 10

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1

Multipliez $\frac{x^{4}}{\sqrt[3]{y^{2}} y}$ par $\frac{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{y^{2}} y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}})$

Étape 10.2

Déplacez $\sqrt[3]{y^{2}}$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y (\sqrt[3]{y^{2}} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2})})$

Étape 10.3

Élevez $\sqrt[3]{y^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y ({\sqrt[3]{y^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2})})$

Étape 10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{1 + 2}})$

Étape 10.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y {\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}})$

Étape 10.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{3}$ comme $y^{2}$ .

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Étape 10.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{y^{2}}$ comme $y^{\frac{2}{3}}$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y {(y^{\frac{2}{3}})}^{3}})$

Étape 10.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{2}{3} \cdot 3}})$

Étape 10.6.3

Associez $\frac{2}{3}$ et $3$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{2 \cdot 3}{3}}})$

Étape 10.6.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{6}{3}}})$

Étape 10.6.5

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 10.6.5.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{3 \cdot 2}{3}}})$

Étape 10.6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.6.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}})$

Étape 10.6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}})$

Étape 10.6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{\frac{2}{1}}})$

Étape 10.6.5.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y \cdot y^{2}})$

Étape 11

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 11.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{1} y^{2}})$

Étape 11.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{1 + 2}})$

Étape 11.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\log (\frac{x^{4} {\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}}{y^{3}})$

Étape 12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{y^{2}}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(y^{2})}^{2}}$ .

$\log (\frac{x^{4} \sqrt[3]{{(y^{2})}^{2}}}{y^{3}})$

Étape 12.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{2}$ .

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Étape 12.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (\frac{x^{4} \sqrt[3]{y^{2 \cdot 2}}}{y^{3}})$

Étape 12.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\log (\frac{x^{4} \sqrt[3]{y^{4}}}{y^{3}})$

Étape 12.3

Factorisez $y^{3}$ .

$\log (\frac{x^{4} \sqrt[3]{y^{3} y}}{y^{3}})$

Étape 12.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\log (\frac{x^{4} y \sqrt[3]{y}}{y^{3}})$

Étape 13

Annulez le facteur commun à $y$ et $y^{3}$ .

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Étape 13.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{4} y \sqrt[3]{y}$ .

$\log (\frac{y (x^{4} \sqrt[3]{y})}{y^{3}})$

Étape 13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{3}$ .

$\log (\frac{y (x^{4} \sqrt[3]{y})}{y \cdot y^{2}})$

Étape 13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log (\frac{y (x^{4} \sqrt[3]{y})}{y \cdot y^{2}})$

Étape 13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log (\frac{x^{4} \sqrt[3]{y}}{y^{2}})$