Pré-calcul Exemples

$\ln (\frac{x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}}{e^{2 x}})$

Étape 1

Réécrivez $\frac{x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}}{e^{2 x}}$ comme $x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x} {(e^{2 x})}^{- 1}$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x} {(e^{2 x})}^{- 1})$

Étape 2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x} e^{2 x \cdot - 1})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x} e^{2 x \cdot - 1})$ comme $\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}) + \ln (e^{2 x \cdot - 1})$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}) + \ln (e^{2 x \cdot - 1})$

Étape 4

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $2 x \cdot - 1$ de l’exposant.

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}) + 2 x \cdot - 1 \ln (e)$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}) - 2 x \ln (e)$

Étape 6

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}) - 2 x \cdot 1$

Étape 7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x^{4} - x}) - 2 x$

Étape 8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4} - x$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x \cdot x^{3} - x}) - 2 x$

Étape 8.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x \cdot x^{3} + x \cdot - 1}) - 2 x$

Étape 8.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{3} + x \cdot - 1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x (x^{3} - 1)}) - 2 x$

Étape 8.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x (x^{3} - 1^{3})}) - 2 x$

Étape 8.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}))}) - 2 x$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}))}) - 2 x$

Étape 8.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x ((x - 1) (x^{2} + x + 1))}) - 2 x$

$\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x (x - 1) (x^{2} + x + 1)}) - 2 x$

Étape 9

Remettez dans l’ordre $\ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x (x - 1) (x^{2} + x + 1)})$ et $- 2 x$ .

$- 2 x + \ln (x^{\frac{1}{3}} \sqrt{x (x - 1) (x^{2} + x + 1)})$