Pré-calcul Exemples

$\ln (\sqrt{x}) + \frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{y}{x}) + \frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \ln (\frac{1}{y})$

Étape 1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\sqrt{x} \frac{y}{x}) + \frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \ln (\frac{1}{y})$

Étape 2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \ln (\sqrt{x} \frac{y}{x} \frac{1}{y})$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (x)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\sqrt{x} \frac{y}{x} \frac{1}{y})$

Étape 3.2

Associez $\sqrt{x}$ et $\frac{y}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{\sqrt{x} y}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $\sqrt{x} y$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{y \sqrt{x}}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{y \sqrt{x}}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 4

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (x^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{x}}{x})$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{x}}{x}$ .

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Étape 5.1.1

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{\sqrt{x}}{x}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x}}{x})$

Étape 5.1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{x})$

Étape 5.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{x})$

Étape 5.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}}}{x})$

Étape 5.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{x})$

Étape 5.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{x})$

Étape 5.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x^{1}}{x})$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $x^{1}$ et $x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x})$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x^{1}})$

Étape 5.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x \cdot 1})$

Étape 5.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{x \cdot 1}{x \cdot 1})$

Étape 5.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (\frac{1}{1})$

Étape 5.2.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + \ln (1)$

Étape 5.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)} + 0$

Étape 6

Additionnez $\frac{\ln (x)}{\ln (y)}$ et $0$ .

$\frac{\ln (x)}{\ln (y)}$