Pré-calcul Exemples

$\ln (3 + x) + \ln (2 x - 1) - 2 \ln (x)$

Étape 1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((3 + x) (2 x - 1)) - 2 \ln (x)$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Développez $(3 + x) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (3 (2 x - 1) + x (2 x - 1)) - 2 \ln (x)$

Étape 2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (3 (2 x) + 3 \cdot - 1 + x (2 x - 1)) - 2 \ln (x)$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (3 (2 x) + 3 \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Étape 2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\ln (6 x + 3 \cdot - 1 + x (2 x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\ln (6 x - 3 + x (2 x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Étape 2.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\ln (6 x - 3 + 2 x \cdot x + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Étape 2.2.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 (x \cdot x) + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Étape 2.2.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 x^{2} + x \cdot - 1) - 2 \ln (x)$

Étape 2.2.1.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 x^{2} - 1 \cdot x) - 2 \ln (x)$

Étape 2.2.1.6

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\ln (6 x - 3 + 2 x^{2} - x) - 2 \ln (x)$

Étape 2.2.2

Soustrayez $x$ de $6 x$ .

$\ln (5 x - 3 + 2 x^{2}) - 2 \ln (x)$

Étape 2.3

Simplifiez $- 2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (5 x - 3 + 2 x^{2}) - \ln (x^{2})$

Étape 3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{5 x - 3 + 2 x^{2}}{x^{2}})$

Étape 4

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 x - 3}{x^{2}})$

Étape 4.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ et dont la somme est $b = 5$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x$ .

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 (x) - 3}{x^{2}})$

Étape 4.2.2

Réécrivez $5$ comme $- 1$ plus $6$

$\ln (\frac{2 x^{2} + (- 1 + 6) x - 3}{x^{2}})$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (\frac{2 x^{2} - 1 x + 6 x - 3}{x^{2}})$

Étape 4.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\ln (\frac{(2 x^{2} - 1 x) + 6 x - 3}{x^{2}})$

Étape 4.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\ln (\frac{x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1)}{x^{2}})$

Étape 4.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$\ln (\frac{(2 x - 1) (x + 3)}{x^{2}})$