Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{3} \cdot \log ({(x + 2)}^{3}) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log ({(x^{2 - 2 x - 8})}^{2}))$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{1}{3} \log ({(x + 2)}^{3})$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ dans le logarithme.

$\log ({({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log ({(x^{2 - 2 x - 8})}^{2}))$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log ({(x + 2)}^{3 (\frac{1}{3})}) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log ({(x^{2 - 2 x - 8})}^{2}))$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\log ({(x + 2)}^{3 (\frac{1}{3})}) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log ({(x^{2 - 2 x - 8})}^{2}))$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\log ({(x + 2)}^{1}) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log ({(x^{2 - 2 x - 8})}^{2}))$

Étape 1.3

Simplifiez

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot (\log (x^{4}) - \log ({(x^{2 - 2 x - 8})}^{2}))$

Étape 1.4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{{(x^{2 - 2 x - 8})}^{2}})$

Étape 1.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.1

Soustrayez $8$ de $2$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{{(x^{- 2 x - 6})}^{2}})$

Étape 1.5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{- 2 x - 6})}^{2}$ .

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Étape 1.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{x^{(- 2 x - 6) \cdot 2}})$

Étape 1.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{x^{- 2 x \cdot 2 - 6 \cdot 2}})$

Étape 1.5.2.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{x^{- 4 x - 6 \cdot 2}})$

Étape 1.5.2.4

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4}}{x^{- 4 x - 12}})$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x^{- 4 x - 12}$ .

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Étape 1.6.1

Factorisez $x^{- 4 x - 12}$ à partir de $x^{4}$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{- 4 x - 12} x^{4 - (- 4 x - 12)}}{x^{- 4 x - 12}})$

Étape 1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.2.1

Multipliez par $1$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{- 4 x - 12} x^{4 - (- 4 x - 12)}}{x^{- 4 x - 12} \cdot 1})$

Étape 1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{- 4 x - 12} x^{4 - (- 4 x - 12)}}{x^{- 4 x - 12} \cdot 1})$

Étape 1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (\frac{x^{4 - (- 4 x - 12)}}{1})$

Étape 1.6.2.4

Divisez $x^{4 - (- 4 x - 12)}$ par $1$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4 - (- 4 x - 12)})$

Étape 1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4 - (- 4 x) - - 12})$

Étape 1.7.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4 + 4 x - - 12})$

Étape 1.7.3

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4 + 4 x + 12})$

Étape 1.8

Additionnez $4$ et $12$ .

$\log (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \log (x^{4 x + 16})$

Étape 1.9

Simplifiez $\frac{1}{2} \log (x^{4 x + 16})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\log (x + 2) + \log ({(x^{4 x + 16})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.10

Multipliez les exposants dans ${(x^{4 x + 16})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.10.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log (x + 2) + \log (x^{(4 x + 16) \frac{1}{2}})$

Étape 1.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x + 2) + \log (x^{4 x \frac{1}{2} + 16 (\frac{1}{2})})$

Étape 1.10.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.10.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$\log (x + 2) + \log (x^{2 (2 x) \frac{1}{2} + 16 (\frac{1}{2})})$

Étape 1.10.3.2

Annulez le facteur commun.

$\log (x + 2) + \log (x^{2 (2 x) \frac{1}{2} + 16 (\frac{1}{2})})$

Étape 1.10.3.3

Réécrivez l’expression.

$\log (x + 2) + \log (x^{2 x + 16 (\frac{1}{2})})$

Étape 1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.10.4.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\log (x + 2) + \log (x^{2 x + 2 (8) \frac{1}{2}})$

Étape 1.10.4.2

Annulez le facteur commun.

$\log (x + 2) + \log (x^{2 x + 2 \cdot 8 \frac{1}{2}})$

Étape 1.10.4.3

Réécrivez l’expression.

$\log (x + 2) + \log (x^{2 x + 8})$

Étape 2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x + 2) x^{2 x + 8})$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\log (x \cdot x^{2 x + 8} + 2 x^{2 x + 8})$

Étape 4

Multipliez $x$ par $x^{2 x + 8}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Multipliez $x$ par $x^{2 x + 8}$ .

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Étape 4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\log (x^{1} x^{2 x + 8} + 2 x^{2 x + 8})$

Étape 4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log (x^{1 + 2 x + 8} + 2 x^{2 x + 8})$

Étape 4.2

Additionnez $1$ et $8$ .

$\log (x^{2 x + 9} + 2 x^{2 x + 8})$