Pré-calcul Exemples

$\frac{1}{5} \cdot \log_{b} (x^{2} y^{6}) - \frac{5}{7} \cdot \log_{b} (x^{6} y)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez $\frac{1}{5} \log_{b} (x^{2} y^{6})$ en déplaçant $\frac{1}{5}$ dans le logarithme.

$\log_{b} ({(x^{2} y^{6})}^{\frac{1}{5}}) - \frac{5}{7} \cdot \log_{b} (x^{6} y)$

Étape 1.2

Appliquez la règle de produit à $x^{2} y^{6}$ .

$\log_{b} ({(x^{2})}^{\frac{1}{5}} {(y^{6})}^{\frac{1}{5}}) - \frac{5}{7} \cdot \log_{b} (x^{6} y)$

Étape 1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (x^{2 (\frac{1}{5})} {(y^{6})}^{\frac{1}{5}}) - \frac{5}{7} \cdot \log_{b} (x^{6} y)$

Étape 1.3.2

Associez $2$ et $\frac{1}{5}$ .

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} {(y^{6})}^{\frac{1}{5}}) - \frac{5}{7} \cdot \log_{b} (x^{6} y)$

Étape 1.4

Multipliez les exposants dans ${(y^{6})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Étape 1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{6 (\frac{1}{5})}) - \frac{5}{7} \cdot \log_{b} (x^{6} y)$

Étape 1.4.2

Associez $6$ et $\frac{1}{5}$ .

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}) - \frac{5}{7} \cdot \log_{b} (x^{6} y)$

Étape 1.5

Multipliez $- \frac{5}{7} \log_{b} (x^{6} y)$ .

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Étape 1.5.1

Remettez dans l’ordre $\log_{b} (x^{6} y)$ et $\frac{5}{7}$ .

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}) - (\frac{5}{7} \log_{b} (x^{6} y))$

Étape 1.5.2

Simplifiez $\frac{5}{7} \log_{b} (x^{6} y)$ en déplaçant $\frac{5}{7}$ dans le logarithme.

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}) - \log_{b} ({(x^{6} y)}^{\frac{5}{7}})$

Étape 1.6

Appliquez la règle de produit à $x^{6} y$ .

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}) - \log_{b} ({(x^{6})}^{\frac{5}{7}} y^{\frac{5}{7}})$

Étape 1.7

Multipliez les exposants dans ${(x^{6})}^{\frac{5}{7}}$ .

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Étape 1.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}) - \log_{b} (x^{6 (\frac{5}{7})} y^{\frac{5}{7}})$

Étape 1.7.2

Multipliez $6 (\frac{5}{7})$ .

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Étape 1.7.2.1

Associez $6$ et $\frac{5}{7}$ .

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}) - \log_{b} (x^{\frac{6 \cdot 5}{7}} y^{\frac{5}{7}})$

Étape 1.7.2.2

Multipliez $6$ par $5$ .

$\log_{b} (x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}) - \log_{b} (x^{\frac{30}{7}} y^{\frac{5}{7}})$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{b} (\frac{x^{\frac{2}{5}} y^{\frac{6}{5}}}{x^{\frac{30}{7}} y^{\frac{5}{7}}})$

Étape 3

Placez $x^{\frac{2}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{\frac{30}{7}} y^{\frac{5}{7}} x^{- \frac{2}{5}}})$

Étape 4

Multipliez $x^{\frac{30}{7}}$ par $x^{- \frac{2}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Déplacez $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2}{5}} x^{\frac{30}{7}} y^{\frac{5}{7}}})$

Étape 4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2}{5} + \frac{30}{7}} y^{\frac{5}{7}}})$

Étape 4.3

Pour écrire $- \frac{2}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{30}{7}} y^{\frac{5}{7}}})$

Étape 4.4

Pour écrire $\frac{30}{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2}{5} \cdot \frac{7}{7} + \frac{30}{7} \cdot \frac{5}{5}} y^{\frac{5}{7}}})$

Étape 4.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $35$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.5.1

Multipliez $\frac{2}{5}$ par $\frac{7}{7}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} + \frac{30}{7} \cdot \frac{5}{5}} y^{\frac{5}{7}}})$

Étape 4.5.2

Multipliez $5$ par $7$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2 \cdot 7}{35} + \frac{30}{7} \cdot \frac{5}{5}} y^{\frac{5}{7}}})$

Étape 4.5.3

Multipliez $\frac{30}{7}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2 \cdot 7}{35} + \frac{30 \cdot 5}{7 \cdot 5}} y^{\frac{5}{7}}})$

Étape 4.5.4

Multipliez $7$ par $5$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{- \frac{2 \cdot 7}{35} + \frac{30 \cdot 5}{35}} y^{\frac{5}{7}}})$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{\frac{- 2 \cdot 7 + 30 \cdot 5}{35}} y^{\frac{5}{7}}})$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{\frac{- 14 + 30 \cdot 5}{35}} y^{\frac{5}{7}}})$

Étape 4.7.2

Multipliez $30$ par $5$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{\frac{- 14 + 150}{35}} y^{\frac{5}{7}}})$

Étape 4.7.3

Additionnez $- 14$ et $150$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}}}{x^{\frac{136}{35}} y^{\frac{5}{7}}})$

Étape 5

Placez $y^{\frac{5}{7}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5}} y^{- \frac{5}{7}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Étape 6

Multipliez $y^{\frac{6}{5}}$ par $y^{- \frac{5}{7}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5} - \frac{5}{7}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Étape 6.2

Pour écrire $\frac{6}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5} \cdot \frac{7}{7} - \frac{5}{7}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Étape 6.3

Pour écrire $- \frac{5}{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6}{5} \cdot \frac{7}{7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{5}{5}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Étape 6.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $35$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.4.1

Multipliez $\frac{6}{5}$ par $\frac{7}{7}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6 \cdot 7}{5 \cdot 7} - \frac{5}{7} \cdot \frac{5}{5}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Étape 6.4.2

Multipliez $5$ par $7$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6 \cdot 7}{35} - \frac{5}{7} \cdot \frac{5}{5}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Étape 6.4.3

Multipliez $\frac{5}{7}$ par $\frac{5}{5}$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6 \cdot 7}{35} - \frac{5 \cdot 5}{7 \cdot 5}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Étape 6.4.4

Multipliez $7$ par $5$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6 \cdot 7}{35} - \frac{5 \cdot 5}{35}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Étape 6.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{6 \cdot 7 - 5 \cdot 5}{35}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Étape 6.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.1

Multipliez $6$ par $7$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{42 - 5 \cdot 5}{35}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Étape 6.6.2

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{42 - 25}{35}}}{x^{\frac{136}{35}}})$

Étape 6.6.3

Soustrayez $25$ de $42$ .

$\log_{b} (\frac{y^{\frac{17}{35}}}{x^{\frac{136}{35}}})$