Pré-calcul Exemples

$\log (\frac{m}{n}) = \frac{\log (m)}{\log (n)}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{\log (m)}{\log (n)}$ des deux côtés de l’équation.

$\log (\frac{m}{n}) - \frac{\log (m)}{\log (n)} = 0$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, \log (n), 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$\log (n)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\log (\frac{m}{n}) - \frac{\log (m)}{\log (n)} = 0$ par $\log (n)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\log (\frac{m}{n}) - \frac{\log (m)}{\log (n)} = 0$ par $\log (n)$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) - \frac{\log (m)}{\log (n)} \log (n) = 0 \log (n)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $\log (n)$ .

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Étape 3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\log (m)}{\log (n)}$ dans le numérateur.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) + \frac{- \log (m)}{\log (n)} \log (n) = 0 \log (n)$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) + \frac{- \log (m)}{\log (n)} \log (n) = 0 \log (n)$

Étape 3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) - \log (m) = 0 \log (n)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez $0$ par $\log (n)$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) - \log (m) = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Réécrivez $\log (m) = \log (\frac{m}{n}) \log (n)$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{\log (\frac{m}{n}) \log (n)} = m$

Étape 4.2

Résolvez $m$ .

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Étape 4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (10^{\log (\frac{m}{n}) \log (n)}) = \ln (m)$

Étape 4.2.2

Développez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $\log (\frac{m}{n})$ comme $\log (m) - \log (n)$ .

$\ln (10^{(\log (m) - \log (n)) \log (n)}) = \ln (m)$

Étape 4.2.2.2

Développez $\ln (10^{(\log (m) - \log (n)) \log (n)})$ en déplaçant $(\log (m) - \log (n)) \log (n)$ hors du logarithme.

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.3.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Étape 4.2.4

Soustrayez $\ln (m)$ des deux côtés de l’équation.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) - \ln (m) = 0$

Étape 4.2.5

Pour résoudre $m$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (m)} = e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}$

Étape 4.2.6

Réécrivez $\ln (m) = \log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} = m$

Étape 4.2.7

Résolvez $m$ .

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Étape 4.2.7.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.2

Développez le côté gauche.

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Étape 4.2.7.2.1

Réécrivez $\log (\frac{m}{n})$ comme $\log (m) - \log (n)$ .

$\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.2.2

Développez $\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)})$ en déplaçant $(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)$ hors du logarithme.

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \ln (e) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.2.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \cdot 1 = \ln (m)$

Étape 4.2.7.2.4

Multipliez $\log (m) - \log (n)$ par $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.7.3.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.4

Soustrayez $\ln (m)$ des deux côtés de l’équation.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) - \ln (m) = 0$

Étape 4.2.7.5

Pour résoudre $m$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (m)} = e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}$

Étape 4.2.7.6

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} = m$

Étape 4.2.7.7

Résolvez $m$ .

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Étape 4.2.7.7.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.2

Développez le côté gauche.

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Étape 4.2.7.7.2.1

Réécrivez $\log (\frac{m}{n})$ comme $\log (m) - \log (n)$ .

$\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.2.2

Développez $\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)})$ en déplaçant $(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)$ hors du logarithme.

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \ln (e) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.2.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \cdot 1 = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.2.4

Multipliez $\log (m) - \log (n)$ par $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.7.7.3.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.4

Soustrayez $\ln (m)$ des deux côtés de l’équation.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) - \ln (m) = 0$

Étape 4.2.7.7.5

Pour résoudre $m$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (m)} = e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}$

Étape 4.2.7.7.6

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} = m$

Étape 4.2.7.7.7

Résolvez $m$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.7.7.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.7.2

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.7.7.2.1

Réécrivez $\log (\frac{m}{n})$ comme $\log (m) - \log (n)$ .

$\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.7.2.2

Développez $\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)})$ en déplaçant $(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)$ hors du logarithme.

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \ln (e) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.7.2.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \cdot 1 = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.7.2.4

Multipliez $\log (m) - \log (n)$ par $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.7.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.7.7.3.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.7.4

Soustrayez $\ln (m)$ des deux côtés de l’équation.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) - \ln (m) = 0$

Étape 4.2.7.7.7.5

Pour résoudre $m$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (m)} = e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}$

Étape 4.2.7.7.7.6

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} = m$

Étape 4.2.7.7.7.7

Résolvez $m$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.7.7.7.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.7.7.2

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.7.7.7.2.1

Réécrivez $\log (\frac{m}{n})$ comme $\log (m) - \log (n)$ .

$\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.7.7.2.2

Développez $\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)})$ en déplaçant $(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)$ hors du logarithme.

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \ln (e) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.7.7.2.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \cdot 1 = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.7.7.2.4

Multipliez $\log (m) - \log (n)$ par $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.7.7.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.7.7.7.7.3.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.7.7.4

Soustrayez $\ln (m)$ des deux côtés de l’équation.

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) - \ln (m) = 0$

Étape 4.2.7.7.7.7.5

Pour résoudre $m$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (m)} = e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}$

Étape 4.2.7.7.7.7.6

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} = m$

Étape 4.2.7.7.7.7.7

Résolvez $m$ .

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Étape 4.2.7.7.7.7.7.1

Soustrayez $m$ des deux côtés de l’équation.

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} - m = 0$

Étape 4.2.7.7.7.7.7.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} = m + 0$

Étape 4.2.7.7.7.7.7.3

Additionnez $m$ et $0$ .

$e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)} = m$

Étape 4.2.7.7.7.7.7.4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.7.7.7.5

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.7.7.7.7.5.1

Réécrivez $\log (\frac{m}{n})$ comme $\log (m) - \log (n)$ .

$\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.7.7.7.5.2

Développez $\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)})$ en déplaçant $(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)$ hors du logarithme.

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \ln (e) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.7.7.7.5.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \cdot 1 = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.7.7.7.5.4

Multipliez $\log (m) - \log (n)$ par $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.7.7.7.6

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.7.7.7.7.6.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{m}{n}) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.7.7.7.7

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.7.7.7.7.7.7.1

Réécrivez $\log (\frac{m}{n})$ comme $\log (m) - \log (n)$ .

$\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)}) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.7.7.7.7.2

Développez $\ln (e^{(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)})$ en déplaçant $(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10)$ hors du logarithme.

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \ln (e) = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.7.7.7.7.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) \cdot 1 = \ln (m)$

Étape 4.2.7.7.7.7.7.7.4

Multipliez $\log (m) - \log (n)$ par $1$ .

$(\log (m) - \log (n)) \log (n) \ln (10) = \ln (m)$