Pré-calcul Exemples

${(\frac{625}{81})}^{x + 1} = {(\frac{3}{5})}^{x - 1}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln ({(\frac{625}{81})}^{x + 1}) = \ln ({(\frac{3}{5})}^{x - 1})$

Étape 2

Développez $\ln ({(\frac{625}{81})}^{x + 1})$ en déplaçant $x + 1$ hors du logarithme.

$(x + 1) \ln (\frac{625}{81}) = \ln ({(\frac{3}{5})}^{x - 1})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{625}{81})$ comme $\ln (625) - \ln (81)$ .

$(x + 1) (\ln (625) - \ln (81)) = \ln ({(\frac{3}{5})}^{x - 1})$

Étape 4

Réécrivez $\ln (81)$ comme $\ln (3^{4})$ .

$(x + 1) (\ln (625) - \ln (3^{4})) = \ln ({(\frac{3}{5})}^{x - 1})$

Étape 5

Développez $\ln (3^{4})$ en déplaçant $4$ hors du logarithme.

$(x + 1) (\ln (625) - (4 \ln (3))) = \ln ({(\frac{3}{5})}^{x - 1})$

Étape 6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$(x + 1) (\ln (625) - 4 \ln (3)) = \ln ({(\frac{3}{5})}^{x - 1})$

Étape 7

Développez $\ln ({(\frac{3}{5})}^{x - 1})$ en déplaçant $x - 1$ hors du logarithme.

$(x + 1) (\ln (625) - 4 \ln (3)) = (x - 1) \ln (\frac{3}{5})$

Étape 8

Réécrivez $\ln (\frac{3}{5})$ comme $\ln (3) - \ln (5)$ .

$(x + 1) (\ln (625) - 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 9.1

Simplifiez $(x + 1) (\ln (625) - 4 \ln (3))$ .

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Étape 9.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (x + 1) (\ln (625) - 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Étape 9.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(x + 1) (\ln (625) - 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Étape 9.1.3

Développez $(x + 1) (\ln (625) - 4 \ln (3))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (\ln (625) - 4 \ln (3)) + 1 (\ln (625) - 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Étape 9.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (625) + x (- 4 \ln (3)) + 1 (\ln (625) - 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Étape 9.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (625) + x (- 4 \ln (3)) + 1 \ln (625) + 1 (- 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Étape 9.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + 1 \ln (625) + 1 (- 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Étape 9.1.4.2

Multipliez $\ln (625)$ par $1$ .

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) + 1 (- 4 \ln (3)) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Étape 9.1.4.3

Multipliez $- 4 \ln (3)$ par $1$ .

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = (x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$

Étape 9.2

Simplifiez $(x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$ .

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Étape 9.2.1

Développez $(x - 1) (\ln (3) - \ln (5))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = x (\ln (3) - \ln (5)) - 1 (\ln (3) - \ln (5))$

Étape 9.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = x \ln (3) + x (- \ln (5)) - 1 (\ln (3) - \ln (5))$

Étape 9.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = x \ln (3) + x (- \ln (5)) - 1 \ln (3) - 1 (- \ln (5))$

Étape 9.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = x \ln (3) - x \ln (5) - 1 \ln (3) - 1 (- \ln (5))$

Étape 9.2.2.2

Réécrivez $- 1 \ln (3)$ comme $- \ln (3)$ .

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = x \ln (3) - x \ln (5) - \ln (3) - 1 (- \ln (5))$

Étape 9.2.2.3

Multipliez $- 1 (- \ln (5))$ .

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Étape 9.2.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = x \ln (3) - x \ln (5) - \ln (3) + 1 \ln (5)$

Étape 9.2.2.3.2

Multipliez $\ln (5)$ par $1$ .

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) = x \ln (3) - x \ln (5) - \ln (3) + \ln (5)$

Étape 9.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 9.3.1

Soustrayez $x \ln (3)$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) - x \ln (3) = - x \ln (5) - \ln (3) + \ln (5)$

Étape 9.3.2

Ajoutez $x \ln (5)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (625) - 4 x \ln (3) + \ln (625) - 4 \ln (3) - x \ln (3) + x \ln (5) = - \ln (3) + \ln (5)$

Étape 9.3.3

Soustrayez $x \ln (3)$ de $- 4 x \ln (3)$ .

$x \ln (625) + \ln (625) - 4 \ln (3) - 5 x \ln (3) + x \ln (5) = - \ln (3) + \ln (5)$

Étape 9.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.4.1

Soustrayez $\ln (625)$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (625) - 4 \ln (3) - 5 x \ln (3) + x \ln (5) = - \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$

Étape 9.4.2

Ajoutez $4 \ln (3)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (625) - 5 x \ln (3) + x \ln (5) = - \ln (3) + \ln (5) - \ln (625) + 4 \ln (3)$

Étape 9.4.3

Additionnez $- \ln (3)$ et $4 \ln (3)$ .

$x \ln (625) - 5 x \ln (3) + x \ln (5) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$

Étape 9.5

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (625) - 5 x \ln (3) + x \ln (5)$ .

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Étape 9.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (625)$ .

$x (\ln (625)) - 5 x \ln (3) + x \ln (5) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$

Étape 9.5.2

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x \ln (3)$ .

$x (\ln (625)) + x (- 5 \ln (3)) + x \ln (5) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$

Étape 9.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (5)$ .

$x (\ln (625)) + x (- 5 \ln (3)) + x (\ln (5)) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$

Étape 9.5.4

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (625)) + x (- 5 \ln (3))$ .

$x (\ln (625) - 5 \ln (3)) + x (\ln (5)) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$

Étape 9.5.5

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (625) - 5 \ln (3)) + x (\ln (5))$ .

$x (\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$

Étape 9.6

Divisez chaque terme dans $x (\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$ par $\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 9.6.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)) = 3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)$ par $\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5))}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} = \frac{3 \ln (3)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} + \frac{\ln (5)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} + \frac{- \ln (625)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)}$

Étape 9.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.6.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)$ .

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Étape 9.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 9.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{3 \ln (3)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} + \frac{\ln (5)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} + \frac{- \ln (625)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)}$

Étape 9.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \frac{3 \ln (3)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} + \frac{\ln (5)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} - \frac{\ln (625)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)}$

Étape 9.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3 \ln (3) + \ln (5)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)} - \frac{\ln (625)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)}$

Étape 9.6.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{3 \ln (3) + \ln (5) - \ln (625)}{\ln (625) - 5 \ln (3) + \ln (5)}$

Forme décimale :

$x = - 0.6$