Pré-calcul Exemples

$\ln (x + 1) = 2 + \ln (x - 1)$

Étape 1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (x + 1) - \ln (x - 1) = 2$

Étape 2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x + 1}{x - 1}) = 2$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{x + 1}{x - 1}) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2} = \frac{x + 1}{x - 1}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x + 1 = e^{2} (x - 1)$

Étape 5

Simplifiez $e^{2} (x - 1)$ .

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Étape 5.1

Simplifiez en multipliant.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + 1 = e^{2} x + e^{2} \cdot - 1$

Étape 5.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{2}$ .

$x + 1 = e^{2} x - 1 \cdot e^{2}$

Étape 5.2

Réécrivez $- 1 e^{2}$ comme $- e^{2}$ .

$x + 1 = e^{2} x - e^{2}$

Étape 6

Soustrayez $e^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$x + 1 - e^{2} x = - e^{2}$

Étape 7

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x - e^{2} x = - e^{2} - 1$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Factorisez $x$ à partir de $x - e^{2} x$ .

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Étape 8.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x - e^{2} x = - e^{2} - 1$

Étape 8.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - e^{2} x = - e^{2} - 1$

Étape 8.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- e^{2} x$ .

$x \cdot 1 + x (- e^{2}) = - e^{2} - 1$

Étape 8.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- e^{2})$ .

$x (1 - e^{2}) = - e^{2} - 1$

Étape 8.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x (1^{2} - e^{2}) = - e^{2} - 1$

Étape 8.3

Factorisez.

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Étape 8.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = e$ .

$x ((1 + e) (1 - e)) = - e^{2} - 1$

Étape 8.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (1 + e) (1 - e) = - e^{2} - 1$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $x (1 + e) (1 - e) = - e^{2} - 1$ par $1 - e^{2}$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $x (1 + e) (1 - e) = - e^{2} - 1$ par $1 - e^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1 - e^{2}} = \frac{- e^{2}}{1 - e^{2}} + \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1^{2} - e^{2}} = \frac{- e^{2}}{1 - e^{2}} + \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Étape 9.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = e$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- e^{2}}{1 - e^{2}} + \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Étape 9.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + e$ .

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Étape 9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- e^{2}}{1 - e^{2}} + \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Étape 9.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- e^{2}}{1 - e^{2}} + \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Étape 9.2.2.2

Annulez le facteur commun de $1 - e$ .

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Étape 9.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- e^{2}}{1 - e^{2}} + \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Étape 9.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- e^{2}}{1 - e^{2}} + \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- e^{2} - 1}{1 - e^{2}}$

Étape 9.3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} - 1}{1^{2} - e^{2}}$

Étape 9.3.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = e$ .

$x = \frac{- e^{2} - 1}{(1 + e) (1 - e)}$

Étape 9.3.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 9.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{2}$ .

$x = \frac{- (e^{2}) - 1}{(1 + e) (1 - e)}$

Étape 9.3.3.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- (e^{2}) - 1 (1)}{(1 + e) (1 - e)}$

Étape 9.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (e^{2}) - 1 (1)$ .

$x = \frac{- (e^{2} + 1)}{(1 + e) (1 - e)}$

Étape 9.3.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.3.4.1

Réécrivez $- (e^{2} + 1)$ comme $- 1 (e^{2} + 1)$ .

$x = \frac{- 1 (e^{2} + 1)}{(1 + e) (1 - e)}$

Étape 9.3.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{e^{2} + 1}{(1 + e) (1 - e)}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{e^{2} + 1}{(1 + e) (1 - e)}$

Forme décimale :

$x = 1.31303528 \dots$