Pré-calcul Exemples

$\sum_{k = 1}^{3} k (k + 5)$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$k \cdot k + k \cdot 5$

Étape 1.2

Multipliez $k$ par $k$ .

$k^{2} + k \cdot 5$

Étape 1.3

Déplacez $5$ à gauche de $k$ .

$k^{2} + 5 k$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$\sum_{k = 1}^{3} k^{2} + 5 k$

Étape 2

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 3

Remplacez les valeurs dans la formule.

$\frac{3 (3 + 1) (2 \cdot 3 + 1)}{6}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 (3 + 1) (2 \cdot 3 + 1)$ .

$\frac{3 ((3 + 1) (2 \cdot 3 + 1))}{6}$

Étape 4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 ((3 + 1) (2 \cdot 3 + 1))}{3 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 ((3 + 1) (2 \cdot 3 + 1))}{3 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(3 + 1) (2 \cdot 3 + 1)}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.1

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{4 (2 \cdot 3 + 1)}{2}$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{4 (6 + 1)}{2}$

Étape 4.2.3

Additionnez $6$ et $1$ .

$\frac{4 \cdot 7}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.1

Multipliez $4$ par $7$ .

$\frac{28}{2}$

Étape 4.3.2

Divisez $28$ par $2$ .

$14$