Pré-calcul Exemples

$\sum_{k = 1}^{6} (k - 2) (k + 1)$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Développez $(k - 2) (k + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$k (k + 1) - 2 (k + 1)$

Étape 1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$k \cdot k + k \cdot 1 - 2 (k + 1)$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$k \cdot k + k \cdot 1 - 2 k - 2 \cdot 1$

Étape 1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Multipliez $k$ par $k$ .

$k^{2} + k \cdot 1 - 2 k - 2 \cdot 1$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $k$ par $1$ .

$k^{2} + k - 2 k - 2 \cdot 1$

Étape 1.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$k^{2} + k - 2 k - 2$

Étape 1.2.2

Soustrayez $2 k$ de $k$ .

$k^{2} - k - 2$

Étape 1.3

Réécrivez l’addition.

$\sum_{k = 1}^{6} k^{2} - k - 2$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{k = 1}^{6} k^{2} - k - 2 = \sum_{k = 1}^{6} k^{2} - 1 \sum_{k = 1}^{6} k + \sum_{k = 1}^{6} - 2$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{6} k^{2}$ .

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Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Étape 3.3.1.2

Divisez $(6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)$ par $1$ .

$(6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)$

Étape 3.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.2.1

Additionnez $6$ et $1$ .

$7 (2 \cdot 6 + 1)$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$7 (12 + 1)$

Étape 3.3.2.3

Additionnez $12$ et $1$ .

$7 \cdot 13$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $7$ par $13$ .

$91$

Étape 4

Évaluez $1 \sum_{k = 1}^{6} k$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(- 1) (\frac{6 (6 + 1)}{2})$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Additionnez $6$ et $1$ .

$- 1 \frac{6 \cdot 7}{2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $6$ par $7$ .

$- 1 (\frac{42}{2})$

Étape 4.3.3

Divisez $42$ par $2$ .

$- 1 \cdot 21$

Étape 4.3.4

Multipliez $- 1$ par $21$ .

$- 21$

Étape 5

Évaluez $\sum_{k = 1}^{6} - 2$ .

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Étape 5.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(- 2) (6)$

Étape 5.3

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$- 12$

Étape 6

Additionnez les résultats des additions.

$91 - 21 - 12$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Soustrayez $21$ de $91$ .

$70 - 12$

Étape 7.2

Soustrayez $12$ de $70$ .

$58$