Pré-calcul Exemples

$2 \sin (\frac{3 π}{4}) \cos (- \frac{π}{12})$

Étape 1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$2 \sin (\frac{π}{4}) \cos (- \frac{π}{12})$

Étape 2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (- \frac{π}{12})$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (- \frac{π}{12})$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2} \cos (- \frac{π}{12})$

Étape 4

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\sqrt{2} \cos (\frac{23 π}{12})$

Étape 5

La valeur exacte de $\cos (\frac{23 π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 5.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\sqrt{2} \cos (\frac{π}{12})$

Étape 5.2

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\sqrt{2} \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Étape 5.3

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\sqrt{2} (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 5.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 5.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 5.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 5.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 5.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 5.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 5.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 5.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 5.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 5.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 5.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Étape 5.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

Étape 5.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{2} \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

Étape 6.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

Étape 6.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2 \cdot 2}}{4}$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{\sqrt{12} + \sqrt{2 \cdot 2}}{4}$

Étape 7.2

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2 \cdot 2}}{4}$

Étape 7.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{4}$

Étape 7.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2}}{4}$

Étape 7.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{4}}{4}$

Étape 7.5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}}}{4}$

Étape 7.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2 \sqrt{3} + 2}{4}$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{3} + 2$ et $4$ .

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Étape 8.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2}{4}$

Étape 8.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (1)}{4}$

Étape 8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\sqrt{3}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{4}$

Étape 8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 (2)}$

Étape 8.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (\sqrt{3} + 1)}{2 \cdot 2}$

Étape 8.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

Forme décimale :

$1.36602540 \dots$