Pré-calcul Exemples

${(3 - 2 i)}^{3}$

Étape 1

Utilisez le théorème de l’expansion binomiale pour déterminer chaque terme. Le théorème du binôme stipule que ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(3)}^{3 - k} \cdot {(- 2 i)}^{k}$

Étape 2

Développez la somme.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(3)}^{3 - 0} \cdot {(- 2 i)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(3)}^{3 - 1} \cdot {(- 2 i)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(3)}^{3 - 2} \cdot {(- 2 i)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(3)}^{3 - 3} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 3

Simplifiez les exposants pour chaque terme du développement.

$1 \cdot {(3)}^{3} \cdot {(- 2 i)}^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4

Simplifiez le résultat polynomial.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez ${(3)}^{3}$ par $1$ .

${(3)}^{3} \cdot {(- 2 i)}^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 \cdot {(- 2 i)}^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.3

Appliquez la règle de produit à $- 2 i$ .

$27 \cdot ({(- 2)}^{0} i^{0}) + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$27 \cdot (1 i^{0}) + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.5

Multipliez $i^{0}$ par $1$ .

$27 \cdot i^{0} + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$27 \cdot 1 + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.7

Multipliez $27$ par $1$ .

$27 + 3 \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.8

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.8.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ .

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Étape 4.1.8.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$27 + 3^{1} \cdot {(3)}^{2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$27 + 3^{1 + 2} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.8.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$27 + 3^{3} \cdot {(- 2 i)}^{1} + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.9

Simplifiez $3^{3} \cdot {(- 2 i)}^{1}$ .

$27 + 3^{3} \cdot (- 2 i) + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.10

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 + 27 \cdot (- 2 i) + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.11

Multipliez $- 2$ par $27$ .

$27 - 54 i + 3 \cdot {(3)}^{1} \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.12

Évaluez l’exposant.

$27 - 54 i + 3 \cdot 3 \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.13

Multipliez $3$ par $3$ .

$27 - 54 i + 9 \cdot {(- 2 i)}^{2} + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.14

Appliquez la règle de produit à $- 2 i$ .

$27 - 54 i + 9 \cdot ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.15

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$27 - 54 i + 9 \cdot (4 i^{2}) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.16

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$27 - 54 i + 9 \cdot (4 \cdot - 1) + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.17

Multipliez $9 (4 \cdot - 1)$ .

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Étape 4.1.17.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$27 - 54 i + 9 \cdot - 4 + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.17.2

Multipliez $9$ par $- 4$ .

$27 - 54 i - 36 + 1 \cdot {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.18

Multipliez ${(3)}^{0}$ par $1$ .

$27 - 54 i - 36 + {(3)}^{0} \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.19

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$27 - 54 i - 36 + 1 \cdot {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.20

Multipliez ${(- 2 i)}^{3}$ par $1$ .

$27 - 54 i - 36 + {(- 2 i)}^{3}$

Étape 4.1.21

Appliquez la règle de produit à $- 2 i$ .

$27 - 54 i - 36 + {(- 2)}^{3} i^{3}$

Étape 4.1.22

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$27 - 54 i - 36 - 8 i^{3}$

Étape 4.1.23

Factorisez $i^{2}$ .

$27 - 54 i - 36 - 8 (i^{2} \cdot i)$

Étape 4.1.24

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$27 - 54 i - 36 - 8 (- 1 \cdot i)$

Étape 4.1.25

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$27 - 54 i - 36 - 8 (- i)$

Étape 4.1.26

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$27 - 54 i - 36 + 8 i$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $36$ de $27$ .

$- 9 - 54 i + 8 i$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 54 i$ et $8 i$ .

$- 9 - 46 i$