Pré-calcul Exemples

$(2 (\cos (240) + i \sin (240))) (5 (\cos (255) + i \sin (255)))$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$2 (- \cos (60) + i \sin (240)) (5 (\cos (255) + i \sin (255)))$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\cos (60)$ est $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} + i \sin (240)) (5 (\cos (255) + i \sin (255)))$

Étape 1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$2 (- \frac{1}{2} + i (- \sin (60))) (5 (\cos (255) + i \sin (255)))$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\sin (60)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})) (5 (\cos (255) + i \sin (255)))$

Étape 1.5

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (255) + i \sin (255)))$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 (- \frac{1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})) (5 (\cos (255) + i \sin (255)))$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$(2 (\frac{- 1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})) (5 (\cos (255) + i \sin (255)))$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$(2 (\frac{- 1}{2}) + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})) (5 (\cos (255) + i \sin (255)))$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression.

$(- 1 + 2 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})) (5 (\cos (255) + i \sin (255)))$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{i \sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$(- 1 + 2 \frac{- i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (255) + i \sin (255)))$

Étape 2.3.2

Annulez le facteur commun.

$(- 1 + 2 \frac{- i \sqrt{3}}{2}) (5 (\cos (255) + i \sin (255)))$

Étape 2.3.3

Réécrivez l’expression.

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (\cos (255) + i \sin (255)))$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

La valeur exacte de $\cos (255)$ est $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 3.1.1

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- \cos (75) + i \sin (255)))$

Étape 3.1.2

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- \cos (30 + 45) + i \sin (255)))$

Étape 3.1.3

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) + i \sin (255)))$

Étape 3.1.4

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (45) - \sin (30) \sin (45)) + i \sin (255)))$

Étape 3.1.5

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45)) + i \sin (255)))$

Étape 3.1.6

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (45)) + i \sin (255)))$

Étape 3.1.7

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + i \sin (255)))$

Étape 3.1.8

Simplifiez $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 3.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + i \sin (255)))$

Étape 3.1.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + i \sin (255)))$

Étape 3.1.8.1.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + i \sin (255)))$

Étape 3.1.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) + i \sin (255)))$

Étape 3.1.8.1.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.1.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) + i \sin (255)))$

Étape 3.1.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) + i \sin (255)))$

Étape 3.1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i \sin (255)))$

Étape 3.2

La valeur exacte de $\sin (255)$ est $- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Étape 3.2.1

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (- \sin (75))))$

Étape 3.2.2

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (- \sin (30 + 45))))$

Étape 3.2.3

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (- (\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)))))$

Étape 3.2.4

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (- (\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)))))$

Étape 3.2.5

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (- (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)))))$

Étape 3.2.6

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (- (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)))))$

Étape 3.2.7

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (- (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}))))$

Étape 3.2.8

Simplifiez $- (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 3.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.8.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.2.8.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (- (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}))))$

Étape 3.2.8.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (- (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}))))$

Étape 3.2.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.2.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (- (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}))))$

Étape 3.2.8.1.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (- (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}))))$

Étape 3.2.8.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (- (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}))))$

Étape 3.2.8.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (- (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}))))$

Étape 3.2.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + i (- \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4})))$

Étape 3.3

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 (- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \frac{i (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4}))$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 \frac{- \sqrt{6} - - \sqrt{2} - i (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4})$

Étape 4.1.2

Multipliez $- - \sqrt{2}$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 \frac{- \sqrt{6} + 1 \sqrt{2} - i (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4})$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 \frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{4})$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(- 1 - i \sqrt{3}) (5 \frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6}}{4})$

Étape 4.2

Associez $5$ et $\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6}}{4}$ .

$(- 1 - i \sqrt{3}) \frac{5 (- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6})}{4}$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \frac{5 (- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6})}{4} - i \sqrt{3} \frac{5 (- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6})}{4}$

Étape 4.4

Réécrivez $- 1 \frac{5 (- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6})}{4}$ comme $- \frac{5 (- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6})}{4}$ .

$- \frac{5 (- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6})}{4} - i \sqrt{3} \frac{5 (- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6})}{4}$

Étape 5

Multipliez $- i \sqrt{3} \frac{5 (- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6})}{4}$ .

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Étape 5.1

Associez $\frac{5 (- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6})}{4}$ et $i$ .

$- \frac{5 (- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6})}{4} - \frac{5 (- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6}) i}{4} \sqrt{3}$

Étape 5.2

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{5 (- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6}) i}{4}$ .

$- \frac{5 (- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6})}{4} - \frac{\sqrt{3} (5 (- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6}) i)}{4}$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 5 (- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6}) - \sqrt{3} (5 (- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6}) i)}{4}$

Étape 7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 5 (- \sqrt{6}) - 5 \sqrt{2} - 5 (- i \sqrt{2}) - 5 (- i \sqrt{6}) - \sqrt{3} (5 (- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6}) i)}{4}$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} - 5 (- i \sqrt{2}) - 5 (- i \sqrt{6}) - \sqrt{3} (5 (- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6}) i)}{4}$

Étape 7.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 (i \sqrt{2}) - 5 (- i \sqrt{6}) - \sqrt{3} (5 (- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6}) i)}{4}$

Étape 7.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 (i \sqrt{2}) + 5 (i \sqrt{6}) - \sqrt{3} (5 (- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6}) i)}{4}$

Étape 7.3

Supprimez les parenthèses.

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} - \sqrt{3} (5 (- \sqrt{6} + \sqrt{2} - i \sqrt{2} - i \sqrt{6}) i)}{4}$

Étape 7.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} - \sqrt{3} ((5 (- \sqrt{6}) + 5 \sqrt{2} + 5 (- i \sqrt{2}) + 5 (- i \sqrt{6})) i)}{4}$

Étape 7.5

Simplifiez

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Étape 7.5.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} - \sqrt{3} ((- 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} + 5 (- i \sqrt{2}) + 5 (- i \sqrt{6})) i)}{4}$

Étape 7.5.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} - \sqrt{3} ((- 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 5 (i \sqrt{2}) + 5 (- i \sqrt{6})) i)}{4}$

Étape 7.5.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} - \sqrt{3} ((- 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 5 (i \sqrt{2}) - 5 (i \sqrt{6})) i)}{4}$

Étape 7.6

Supprimez les parenthèses.

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} - \sqrt{3} ((- 5 \sqrt{6} + 5 \sqrt{2} - 5 i \sqrt{2} - 5 i \sqrt{6}) i)}{4}$

Étape 7.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} - \sqrt{3} (- 5 \sqrt{6} i + 5 \sqrt{2} i - 5 i \sqrt{2} i - 5 i \sqrt{6} i)}{4}$

Étape 7.8

Simplifiez

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Étape 7.8.1

Multipliez $- 5 i \sqrt{2} i$ .

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Étape 7.8.1.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} - \sqrt{3} (- 5 \sqrt{6} i + 5 \sqrt{2} i - 5 (i^{1} i) \sqrt{2} - 5 i \sqrt{6} i)}{4}$

Étape 7.8.1.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} - \sqrt{3} (- 5 \sqrt{6} i + 5 \sqrt{2} i - 5 (i^{1} i^{1}) \sqrt{2} - 5 i \sqrt{6} i)}{4}$

Étape 7.8.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} - \sqrt{3} (- 5 \sqrt{6} i + 5 \sqrt{2} i - 5 i^{1 + 1} \sqrt{2} - 5 i \sqrt{6} i)}{4}$

Étape 7.8.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} - \sqrt{3} (- 5 \sqrt{6} i + 5 \sqrt{2} i - 5 i^{2} \sqrt{2} - 5 i \sqrt{6} i)}{4}$

Étape 7.8.2

Multipliez $- 5 i \sqrt{6} i$ .

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Étape 7.8.2.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} - \sqrt{3} (- 5 \sqrt{6} i + 5 \sqrt{2} i - 5 i^{2} \sqrt{2} - 5 (i^{1} i) \sqrt{6})}{4}$

Étape 7.8.2.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} - \sqrt{3} (- 5 \sqrt{6} i + 5 \sqrt{2} i - 5 i^{2} \sqrt{2} - 5 (i^{1} i^{1}) \sqrt{6})}{4}$

Étape 7.8.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} - \sqrt{3} (- 5 \sqrt{6} i + 5 \sqrt{2} i - 5 i^{2} \sqrt{2} - 5 i^{1 + 1} \sqrt{6})}{4}$

Étape 7.8.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} - \sqrt{3} (- 5 \sqrt{6} i + 5 \sqrt{2} i - 5 i^{2} \sqrt{2} - 5 i^{2} \sqrt{6})}{4}$

Étape 7.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.9.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} - \sqrt{3} (- 5 \sqrt{6} i + 5 \sqrt{2} i - 5 \cdot - 1 \sqrt{2} - 5 i^{2} \sqrt{6})}{4}$

Étape 7.9.2

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} - \sqrt{3} (- 5 \sqrt{6} i + 5 \sqrt{2} i + 5 \sqrt{2} - 5 i^{2} \sqrt{6})}{4}$

Étape 7.9.3

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} - \sqrt{3} (- 5 \sqrt{6} i + 5 \sqrt{2} i + 5 \sqrt{2} - 5 \cdot - 1 \sqrt{6})}{4}$

Étape 7.9.4

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} - \sqrt{3} (- 5 \sqrt{6} i + 5 \sqrt{2} i + 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{6})}{4}$

Étape 7.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} - \sqrt{3} (- 5 \sqrt{6} i) - \sqrt{3} (5 \sqrt{2} i) - \sqrt{3} (5 \sqrt{2}) - \sqrt{3} (5 \sqrt{6})}{4}$

Étape 7.11

Simplifiez

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Étape 7.11.1

Multipliez $- \sqrt{3} (- 5 \sqrt{6} i)$ .

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Étape 7.11.1.1

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 5 \sqrt{3} (\sqrt{6} i) - \sqrt{3} (5 \sqrt{2} i) - \sqrt{3} (5 \sqrt{2}) - \sqrt{3} (5 \sqrt{6})}{4}$

Étape 7.11.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 5 \sqrt{6 \cdot 3} i - \sqrt{3} (5 \sqrt{2} i) - \sqrt{3} (5 \sqrt{2}) - \sqrt{3} (5 \sqrt{6})}{4}$

Étape 7.11.1.3

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 5 \sqrt{18} i - \sqrt{3} (5 \sqrt{2} i) - \sqrt{3} (5 \sqrt{2}) - \sqrt{3} (5 \sqrt{6})}{4}$

Étape 7.11.2

Multipliez $- \sqrt{3} (5 \sqrt{2} i)$ .

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Étape 7.11.2.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 5 \sqrt{18} i - 5 \sqrt{3} (\sqrt{2} i) - \sqrt{3} (5 \sqrt{2}) - \sqrt{3} (5 \sqrt{6})}{4}$

Étape 7.11.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 5 \sqrt{18} i - 5 \sqrt{2 \cdot 3} i - \sqrt{3} (5 \sqrt{2}) - \sqrt{3} (5 \sqrt{6})}{4}$

Étape 7.11.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 5 \sqrt{18} i - 5 \sqrt{6} i - \sqrt{3} (5 \sqrt{2}) - \sqrt{3} (5 \sqrt{6})}{4}$

Étape 7.11.3

Multipliez $- \sqrt{3} (5 \sqrt{2})$ .

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Étape 7.11.3.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 5 \sqrt{18} i - 5 \sqrt{6} i - 5 \sqrt{3} \sqrt{2} - \sqrt{3} (5 \sqrt{6})}{4}$

Étape 7.11.3.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 5 \sqrt{18} i - 5 \sqrt{6} i - 5 \sqrt{2 \cdot 3} - \sqrt{3} (5 \sqrt{6})}{4}$

Étape 7.11.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 5 \sqrt{18} i - 5 \sqrt{6} i - 5 \sqrt{6} - \sqrt{3} (5 \sqrt{6})}{4}$

Étape 7.11.4

Multipliez $- \sqrt{3} (5 \sqrt{6})$ .

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Étape 7.11.4.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 5 \sqrt{18} i - 5 \sqrt{6} i - 5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{3} \sqrt{6}}{4}$

Étape 7.11.4.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 5 \sqrt{18} i - 5 \sqrt{6} i - 5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{6 \cdot 3}}{4}$

Étape 7.11.4.3

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 5 \sqrt{18} i - 5 \sqrt{6} i - 5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{18}}{4}$

Étape 7.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.12.1

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 7.12.1.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 5 \sqrt{9 (2)} i - 5 \sqrt{6} i - 5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{18}}{4}$

Étape 7.12.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 5 \sqrt{3^{2} \cdot 2} i - 5 \sqrt{6} i - 5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{18}}{4}$

Étape 7.12.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 5 (3 \sqrt{2}) i - 5 \sqrt{6} i - 5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{18}}{4}$

Étape 7.12.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 15 \sqrt{2} i - 5 \sqrt{6} i - 5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{18}}{4}$

Étape 7.12.4

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 7.12.4.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 15 \sqrt{2} i - 5 \sqrt{6} i - 5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{9 (2)}}{4}$

Étape 7.12.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 15 \sqrt{2} i - 5 \sqrt{6} i - 5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{3^{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 7.12.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 15 \sqrt{2} i - 5 \sqrt{6} i - 5 \sqrt{6} - 5 (3 \sqrt{2})}{4}$

Étape 7.12.6

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$\frac{5 \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 15 \sqrt{2} i - 5 \sqrt{6} i - 5 \sqrt{6} - 15 \sqrt{2}}{4}$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Soustrayez $5 \sqrt{6}$ de $5 \sqrt{6}$ .

$\frac{- 5 \sqrt{2} + 5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 15 \sqrt{2} i - 5 \sqrt{6} i + 0 - 15 \sqrt{2}}{4}$

Étape 8.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.1

Additionnez $- 5 \sqrt{2}$ et $0$ .

$\frac{5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 15 \sqrt{2} i - 5 \sqrt{6} i - 5 \sqrt{2} - 15 \sqrt{2}}{4}$

Étape 8.2.2

Réorganisez les facteurs de $15 \sqrt{2} i$ .

$\frac{5 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} + 15 i \sqrt{2} - 5 \sqrt{6} i - 5 \sqrt{2} - 15 \sqrt{2}}{4}$

Étape 8.3

Additionnez $5 i \sqrt{2}$ et $15 i \sqrt{2}$ .

$\frac{20 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} - 5 \sqrt{6} i - 5 \sqrt{2} - 15 \sqrt{2}}{4}$

Étape 8.4

Réorganisez les facteurs de $- 5 \sqrt{6} i$ .

$\frac{20 i \sqrt{2} + 5 i \sqrt{6} - 5 i \sqrt{6} - 5 \sqrt{2} - 15 \sqrt{2}}{4}$

Étape 8.5

Soustrayez $5 i \sqrt{6}$ de $5 i \sqrt{6}$ .

$\frac{20 i \sqrt{2} + 0 - 5 \sqrt{2} - 15 \sqrt{2}}{4}$

Étape 8.6

Additionnez $20 i \sqrt{2}$ et $0$ .

$\frac{20 i \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} - 15 \sqrt{2}}{4}$

Étape 8.7

Soustrayez $15 \sqrt{2}$ de $- 5 \sqrt{2}$ .

$\frac{20 i \sqrt{2} - 20 \sqrt{2}}{4}$

Étape 8.8

Remettez dans l’ordre $20 i \sqrt{2}$ et $- 20 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 20 \sqrt{2} + 20 i \sqrt{2}}{4}$

Étape 8.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 20 \sqrt{2}$ .

$\frac{- (20 \sqrt{2}) + 20 i \sqrt{2}}{4}$

Étape 8.10

Factorisez $- 1$ à partir de $20 i \sqrt{2}$ .

$\frac{- (20 \sqrt{2}) - (- 20 i \sqrt{2})}{4}$

Étape 8.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (20 \sqrt{2}) - (- 20 i \sqrt{2})$ .

$\frac{- (20 \sqrt{2} - 20 i \sqrt{2})}{4}$

Étape 8.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.12.1

Réécrivez $- (20 \sqrt{2} - 20 i \sqrt{2})$ comme $- 1 (20 \sqrt{2} - 20 i \sqrt{2})$ .

$\frac{- 1 (20 \sqrt{2} - 20 i \sqrt{2})}{4}$

Étape 8.12.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{20 \sqrt{2} - 20 i \sqrt{2}}{4}$