Pré-calcul Exemples

$- 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot i$

Étape 1

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- 1 - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Étape 2

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 3

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 1$ et $b = - \frac{1 \sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1 \sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 5

Déterminez $| z |$ .

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Étape 5.1

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{\frac{3}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.4.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \sqrt{\frac{3}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3}{9} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3 (1)}{9} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + {(- 1)}^{2}}$

Étape 5.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.7.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + 1}$

Étape 5.7.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}$

Étape 5.7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{3}}$

Étape 5.7.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4}{3}}$

Étape 5.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{4}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.9.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 5.10

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 5.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.11.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 5.11.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 5.11.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 5.11.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 5.11.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 5.11.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.11.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.11.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.11.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.11.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.11.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.11.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 5.11.6.5

Évaluez l’exposant.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 6

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1 \sqrt{3}}{3}}{- 1})$

Étape 7

Comme la tangente inverse de $\frac{- \frac{1 \sqrt{3}}{3}}{- 1}$ produit un angle dans le troisième quadrant, la valeur de l’angle est $\frac{7 π}{6}$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Étape 8

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{7 π}{6}$ et $| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))}$