Pré-calcul Exemples

$\frac{2}{3} + 6 i + \frac{5}{2} \cdot i$

Étape 1

Associez $\frac{5}{2}$ et $i$ .

$\frac{2}{3} + 6 i + \frac{5 i}{2}$

Étape 2

Pour écrire $6 i$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} + 6 i \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 i}{2}$

Étape 3

Associez $6 i$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{6 i \cdot 2}{2} + \frac{5 i}{2}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} + \frac{17 i}{2}$

Étape 5

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 6

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 7

Remplacez les valeurs réelles de $a = \frac{2}{3}$ et $b = \frac{17}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{17}{2})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 8

Déterminez $| z |$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{17}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{17^{2}}{2^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 8.2

Élevez $17$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{2^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 8.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 8.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Étape 8.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{4}{3^{2}}}$

Étape 8.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{4}{9}}$

Étape 8.7

Pour écrire $\frac{289}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9}}$

Étape 8.8

Pour écrire $\frac{4}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 8.9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 8.9.1

Multipliez $\frac{289}{4}$ par $\frac{9}{9}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 8.9.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 8.9.3

Multipliez $\frac{4}{9}$ par $\frac{4}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4}}$

Étape 8.9.4

Multipliez $9$ par $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4 \cdot 4}{36}}$

Étape 8.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9 + 4 \cdot 4}{36}}$

Étape 8.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.11.1

Multipliez $289$ par $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2601 + 4 \cdot 4}{36}}$

Étape 8.11.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2601 + 16}{36}}$

Étape 8.11.3

Additionnez $2601$ et $16$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2617}{36}}$

Étape 8.12

Réécrivez $\sqrt{\frac{2617}{36}}$ comme $\frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{36}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{36}}$

Étape 8.13

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.13.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{6^{2}}}$

Étape 8.13.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{6}$

Étape 9

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{\frac{17}{2}}{\frac{2}{3}})$

Étape 10

Comme la tangente inverse de $\frac{\frac{17}{2}}{\frac{2}{3}}$ produit un angle dans le premier quadrant, la valeur de l’angle est $1.49252518$ .

$θ = 1.49252518$

Étape 11

Remplacez les valeurs de $θ = 1.49252518$ et $| z | = \frac{\sqrt{2617}}{6}$ .

$\frac{\sqrt{2617}}{6 (\cos (1.49252518) + i \sin (1.49252518))}$