Pré-calcul Exemples

$i^{- 17}$

Étape 1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{i^{17}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $i^{17}$ comme ${(i^{4})}^{4} i$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $i^{16}$ .

$\frac{1}{i^{16} i}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $i^{16}$ comme ${(i^{4})}^{4}$ .

$\frac{1}{{(i^{4})}^{4} i}$

Étape 2.2

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{{({(i^{2})}^{2})}^{4} i}$

Étape 2.2.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1}{{({(- 1)}^{2})}^{4} i}$

Étape 2.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{1^{4} i}$

Étape 2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{1 i}$

Étape 2.4

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{1}{i}$

Étape 3

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{1}{i}$ par le conjugué de $i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i}$

Étape 4

Multipliez.

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Étape 4.1

Associez.

$\frac{1 i}{i i}$

Étape 4.2

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{i}{i i}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{i}{i^{1} i}$

Étape 4.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{i}{i^{1} i^{1}}$

Étape 4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{i}{i^{1 + 1}}$

Étape 4.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{i}{i^{2}}$

Étape 4.3.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{i}{- 1}$

Étape 5

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{i}{- 1}$ .

$- 1 \cdot i$

Étape 6

Réécrivez $- 1 \cdot i$ comme $- i$ .

$- i$

Étape 7

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 8

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 9

Remplacez les valeurs réelles de $a = 0$ et $b = - 1$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$

Étape 10

Déterminez $| z |$ .

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Étape 10.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Étape 10.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| z | = 1$

Étape 11

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{- 1}{0})$

Étape 12

Comme l’argument est indéfini et $b$ est négatif, l’angle du point sur le plan complexe est $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Étape 13

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{3 π}{2}$ et $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$