Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 9}$ , $g (x) = \sqrt{x - 2}$

Étape 1

Déterminez le quotient des fonctions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Remplacez les indicateurs de fonctions par les fonctions réelles dans $\frac{f (x)}{g (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{2} - 9}}{\sqrt{x - 2}}$

Étape 1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{x^{2} - 9} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Étape 1.2.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$

Étape 1.2.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ par $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} (\frac{1}{\sqrt{x - 2}} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}})$

Étape 1.2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ par $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2}}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}}$

Étape 1.2.4.2

Élevez $\sqrt{x - 2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} \sqrt{x - 2}}$

Étape 1.2.4.3

Élevez $\sqrt{x - 2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1} {\sqrt{x - 2}}^{1}}$

Étape 1.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{\sqrt{x - 2}}^{2}}$

Étape 1.2.4.6

Réécrivez ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ comme $x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x - 2}$ comme ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{{(x - 2)}^{1}}$

Étape 1.2.4.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$

Étape 1.2.5

Multipliez $\frac{1}{(x + 3) (x - 3)}$ par $\frac{\sqrt{x - 2}}{x - 2}$ .

$\frac{\sqrt{x - 2}}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)}$

Étape 2

Définissez le radicande dans $\sqrt{x - 2}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x - 2 \geq 0$

Étape 3

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x \geq 2$

Étape 4

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sqrt{x - 2}}{(x + 3) (x - 3) (x - 2)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x + 3) (x - 3) (x - 2) = 0$

Étape 5

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 5.2

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 5.3

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 5.3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 5.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 5.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 5.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) (x - 3) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = - 3, 3, 2$

Étape 6

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(2, 3) \cup (3, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 2, x \neq 3}$

Étape 7